fn(x) konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion

Question

                    n^2*x,             0 ≤ x ≤ 1/n

fn (x) =         2n-n^2*x,        1/n ≤ x ≤ 2/n           von [0,1] → ℝ

                    0,                    2/n ≤ x ≤ 1

Zu zeigen der lim fn(x)  = 0 für n → ∞ , d.h. fn konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion.

Ich wähle jetzt für x einen wert aus [0,1] und überprüfe deren Wert auf Konvergenz.

fn(0) = 0

fn(1/n) = n (das erste Intervall)

fn(1/n) = 0 (das zweite Intervall)

fn(2/n) = 0 (das zweite Intervall)

fn(1) = 0

Jetzt erkenne ich das es für 1/n zwei verschiedene Werte bekomme, nämlich 0 und n. Der Grenzwert von 0 ist 0, jedoch von n ist es ∞ für n gegen unendlich. Wie gehe ich hierbei vor ?

Comments

- Eine Funktion hat niemals an irgendeiner Stelle zwei Werte.

- Du hast das mit der punktweisen Konvergenz nicht begriffen. Du sollst \(x\in[0,1]\) festhalten (d.h. unabhaengig von \(n\) waehlen; \(x=1/n\) kommt gar nicht infrage) und dann \(n\to\infty\) gehen lassen.

Answer 1

Hallo

 du wählst ja nicht "einen" Wert sondern einen variablen Wert. nimm mal x=10^-5 oder x=δ fest.   gibt es ein N_0 so dass für alle n>N_0  fn(δ)-0<ε oder sogar  f(δ)=0.

du musst für jedes feste x so ein N_0 angeben können

was passiert denn mit dem letzten Intervall, wenn n->∞

Gruß lul

Comments

für n → ∞ bekomme ich ja für das letzte Intervall lim 2/n = 0 ≤ x ≤ 1. Also den ganzen Graphen, der gleich 0 ist. Ist das bereits die Lösung der Frage?

Wenn ich mir x bel klein wähle so bleibt doch n^2*x immer divergent oder? Genauso für 2n-n^2*x