Zeigen Sie, dass die Folge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.

Question

Betrachten Sie die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \geq 1} \) von Funktionen auf dem halboffenen Intervall \( [0,1) \), die durch \( f_{n}(x)=x^{n} \) gegeben ist. Zeigen Sie, dass die Folge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.

Answer 1

pun ktweise ist ja klar:
für x aus [0;1) ist halt x<1 und damit lim (x^n) für x gegen unendlich = 0.


andererseits nicht gleichmäßig, denn
sei nun o die Nullfunktion  und sei eps>0

( und da es ja in erster
Linie um kleine eps geht ist oBdA eps<0,5 )

und xo ein Element von IN,
so dass für alle n>no   und alle x aus [0;1) gilt   |fn(x) -   o(x) | < eps
also   | x^n - 0 | < eps
da alles positiv ist, kein betrag
    x^n < eps  wohlgemerkt für alle x aus [0;1)
also x < n-te wurzel (eps).
wegen eps<0,5 ist n-te wurzel (eps) < 1
also gibt es eine pos. Zahl  c < 1
(das sit gerade n-te wurzel (eps)   )
mit x < c   für alle x aus [0;1)
Das ist ein Widerspruch, den z.B.  (1+c) / 2
ist in [0;1) aber > c.