Zusammengesetzte Funktionen - Produktregel

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(x^2+2x)*e^x

a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten an den Graphen von f in den Schnittpunkten des Graphen mit der x-Achse.

b) Zeigen Sie, dass F mit F8x)=x^2*ex eine Stammfunktion von f ist.

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt, der vom Graphen von f unterhlab der x-Achse eingeschlossen wird.

Answer 1

b) Zeigen Sie, dass F mit F(x)=x^2 * e^x eine
Stammfunktion von f ist.
Am einfachsten durch Ableitung

F(x)=x^2 * e^x
f ( x ) = 2x  * e^x + x^2 * e^x
f ( x ) = ( 2x + x^2 ) * e^x
bingo

a.)
Für einen Berührpunkt gilt
f ( x ) = t ( x )
f ´( x ) = t ´ ( x )

f(x)=(x^2+2x)*e^x
f ´ ( x ) = ( 2x+ 2 ) * e^x + ( x^2 + 2x ) * e^x
f ´( x ) = ( x^2 + 4x + 2 ) * e^x

t ( x ) = m * x + b
t ´( x ) = m

Nullstellen ermitteln
f ( x ) = ( x^2 + 2x ) * e^x = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
e^x = 0 | nicht möglich
und
x^2 + 2x = 0
x * ( x + 2 ) = 0
x = 0
und x = -2
N1 ( 0 | 0 )
N2 ( -2 | 0 )

f ´( 0 ) = ( 0 ^2 + 4 * 0 + 2 ) * e ^0
f ´( 0 ) = 2 * 1 = 2 = m
t1 = 2 * x + 0 = 2x

f ´( -2 ) = ( (-2) ^2 + 4 * (-2) + 2 ) * e ^{-2}
f ´( -2 ) = -0.27 = m

t ( x ) = m * x + b
t ( -2 ) = -0.27 * -2 + b = 0
0.54 =-b
b = - 0.54
t2 ( x ) = -0.27 * x - 0.54

c.)
Stammfunktion
F(x)=x^2 * e^x
[ F ( x ) ] zwischen -2 und 0
und absolut setzen

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Comments

Die Antwort hat mir wirklich sehr geholfen und ich habe ale Rechenschritte nachvollziehen können. habe es jetzt auch verstanden. super erklärt! Nur ich verstehe c noch nicht so ganz :/ Was meinst du mit absolut setzen ?

Vielen Dank schonmal im voraus

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F ( x ) = x^2 * e^x
0 ^2 * e ^0 - ( (-2) ^2 * e^{-2} )
0 - ( 0.54 )
- 0.54

Flächen sind stets positiv. Deshalb das
Ergebnis als Betrag nehmen.
| - 0.54 | = 0.54

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Den Satz vom Nullprodukt wirst du wohl nie verstehen.

Answer 2

Hallo

a) Nullstellen kannst du hoffentlich mit x²+2x=0

ableitung nach Produktregel: (ex)'=ex,  (x²+2x)'=2x+2

also f'=e^x*(x²+2x+2x+2)

bei b) einfach F ableiten.

c) da du die Stammfkt aus b) kennst nur noch die Grenzen einsetzen.

Wo scheiterst du denn?

Gruß lul

Answer 3

Aufgabe a):

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx