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Eine Brücke spannt sich zwischen zwei Bergen. Der Querschnitt kann durch die Funktion

f(x)=-1/3(x-5)²+4 beschrieben werden. Berechne die Koordinaten, an denen die Brücke auf den Boden trifft.

von

Hallo,

liebend gerne, aber was soll den berechnet werden?


2 Antworten

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Hallo Bärbel,

Berechne die Koordinaten an denen die Brücke auf den Boden trifft.

gemeint sind wohl die Nullstellen der Parabel:

- 1/3·(x - 5)2 + 4 = 0    | • (-3)

(x-5)2  - 12  =  0    | + 12

(x-5)2  =  12    | √  

x - 5  =  ± √12     | + 5

x1 =  5 + √12  ≈  8,46     ;     x2  =  5 - √12  ≈  1,54

Graph .jpg

Gruß Wolfgang

von 82 k

Schöner Rechenweg, daran habe ich gar nicht gedacht. Das ist der Nachteil, wenn man nur in Formeln denkt, oftmals kommt man mit logischem Denken schneller zum Ziel!

Wenn man die Scheitelform hat, ist halt die Hauptarbeit (quadratische Ergänzung) schon erledigt.

ja, dann ist es blöd die ganze Arbeit wieder hinzuschmeißen

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Hallo,

Du willst also die Nullstellen wissen:$$f(x)=-\frac{1}{3}(x-5)^2+4$$ Dafür musst die Funktion erstmal wieder von der Scheitelpunktform in die Normalform umstellen. Verwende die 2. Binomische Formel:$$f(x)=-\frac{1}{3}(x^2-10x+25)+4$$ Multipliziere die Klammer aus:$$f(x)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{10}{3}x-\frac{13}{3}$$ Jetzt kannst du direkt die ABC-Formel verwenden:$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$$x_{1,2}=\frac{-\frac{10}{3}\pm \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \left(-\frac{13}{3}\right)}}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}$$$$x_{1}=5-2\sqrt{3}≈ 1.54 \quad x_{2}=5+2\sqrt{3}≈ 8.46$$Oder du teilst vorerst durch -(1/3) und kannst die PQ-Formel anwenden:$$-\frac{1}{3}x^2+\frac{10}{3}x-\frac{13}{3}=0  |:\left(-\frac{1}{3}\right)$$$$x^2-10x+13=0$$ Jetzt kannst du ganz gemütlich die PQ-Formel anwenden:$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$$$x_{1,2}=-\frac{-10}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2-13}$$$$x_{1}=5-2\sqrt{3}≈ 1.54 \quad x_{2}=5+2\sqrt{3}≈ 8.46$$

Hier nochmal der Graph zur Kontrolle:


Grüße

von 14 k

Wenn man die Scheitelform der Parabel hat, kann man die Nullstellen (ohne pq- oder abc-Formel)  viel "gemütlicher" ausrechnen, wenn man nicht vorher die Normalform der Parabel "herstellt".

vgl. meine Antwort

Ja, dein Weg ist echt besser! Ich lasse es aber mal so stehen... Dann weiß der Fragesteller eventuell was er nicht machen sollte, oder eher nicht machen sollte.

Außerdem wird Er vielleicht mal gefragt von einer Scheitelpunktform die Normalform zu bilden!

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