Hallo Sascha,
Ich habe ein Problem damit, dass die Darstellung +...+ ist, so weiß ich leider überhaupt nicht wie ich anfangen soll :(
zunächst mal ist das eine Summe. Das schreibt man u.a. mit dem Summenzeichen \(\sum\). Der erste Summand ist \(1 \cdot 1!\), der nächste \(2 \cdot 2!\) und dann \(3 \cdot 3!\) usw. - könnte man auch schreiben \(k \cdot k!\). \(k\) beginnt bei \(1\) und der letzte Summand ist \(n \cdot n!\) - und das alles soll gleich \((n+1)! - 1\) sein:
$$\sum_{k=1}^n k \cdot k!= (n+1)!-1$$
Für \(n=1\) ist das richtig:
$$1 \cdot 1! = (1+1)! - 1 = 1$$ jetzt prüfe ich das für \(n+1\) und setze voraus, dass \(\sum_{k=1}^n k \cdot k!= (n+1)!-1\) stimmt:
$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{\colorbox{#CCFFCC}{n+1}} k \cdot k! &= \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! + (n+1)(n+1)! \\ \space &= (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)! \\ &= (n+1)! \cdot (1 + (n+1)) - 1 \\ \space &= (n+2)! - 1 \\ &= (\colorbox{#CCFFCC}{(n+1)}+1)! - 1\end{aligned}$$ q.e.d.
Gruß Werner
