vollständige Induktion n. Zeige: 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!=(n+1)!-e

Question

1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!=(n+1)!-e

e=-1  und die Gleichung stimmt

Zu beweisen ist die identität mit der Voll.Ind.

Ich habe ein Problem damit, dass die Darstellung +...+ ist, so weiß ich leider überhaupt nicht wie ich anfangen soll :(

Answer 1

Hallo Sascha,

Ich habe ein Problem damit, dass die Darstellung +...+ ist, so weiß ich leider überhaupt nicht wie ich anfangen soll :( 

zunächst mal ist das eine Summe. Das schreibt man u.a. mit dem Summenzeichen $\sum$. Der erste Summand ist $1 \cdot 1!$, der nächste $2 \cdot 2!$ und dann $3 \cdot 3!$ usw. - könnte man auch schreiben $k \cdot k!$. $k$ beginnt bei $1$ und der letzte Summand ist $n \cdot n!$ - und das alles soll gleich $(n+1)! - 1$ sein:

$$\sum_{k=1}^n k \cdot k!= (n+1)!-1$$

Für $n=1$ ist das richtig:

$$1 \cdot 1! = (1+1)! - 1 = 1$$ jetzt prüfe ich das für $n+1$ und setze voraus, dass $\sum_{k=1}^n k \cdot k!= (n+1)!-1$ stimmt:

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{\colorbox{#CCFFCC}{n+1}} k \cdot k! &= \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! + (n+1)(n+1)! \\ \space &= (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)! \\ &= (n+1)! \cdot (1 + (n+1)) - 1 \\ \space &= (n+2)! - 1 \\ &= (\colorbox{#CCFFCC}{(n+1)}+1)! - 1\end{aligned}$$ q.e.d.

Gruß Werner

Answer 2

Hallo

du musst einfach zu der Induktionsbors noch (n+1)*(n+1)! addieren, (n+1)! ausklammern (die -1 einfach stehen lassen und die Induktionsbehauptung steht schon da.

Gruß lul