Maximales Volumen für den Zylinder

Question

ein 110cm langer Draht soll zu einem U geformt werden und dann um eine Achse rotieren, so dass ein Rotationszylinder entsteht. Für welche Biegemaße hat der Zylinder ein maximales Volumen?

Leider weiß ich nicht wie ich das rechnen soll.

LG

Comments

Ist eine Skizze vorhanden ?

Answer 1

Hallo Yamina,

Ich nehme an, dass der Draht in dieser Weise gebogen werden soll:

dann ist \(h + 2r + h = l = 110 \text{cm}\) bzw. \(h = l/2 - r\). Das Volumen soll maximal werden - es ist

$$V = h r^2\pi = (\frac{l}{2}-r) r^2 \pi = \frac{l}{2}r^2 \pi - r^3\pi$$ Ableiten nach \(r\) und Nullsetzen:

$$\frac{\text{d}V}{\text{d}r} = l r \pi - 3r^2\pi = 0 \quad \Rightarrow r = \frac{1}{3}l \approx 36,7 \text{cm}$$ und für die Höhe verbleiben dann \(h = l/2- l/3 = l/6 \approx 18,3 \text{cm}\)

Answer 2

s: Länge des Drahtes

Nebenbedingung
2·r + 2·h = s --> h = 1/2·s - r

Hauptbedingung
V = pi·r^2·h = pi·r^2·(1/2·s - r) = pi·(1/2·r^2·s - r^3)
V' = pi·(r·s - 3·r^2) = pi·r·(s - 3·r) = 0 --> r = 0 ∨ r = 1/3·s

h = 1/2·s - (1/3·s) = 1/6·s
V = pi·(1/2·(1/3·s)^2·s - (1/3·s)^3) = 1/54·pi·s^3