Beweis: Eine Pizza durch n geradlinige Schnitte, in höchstens 1/2 (n^2+ n + 2) Stücke teilbar

Question

hi
Beweisen Sie, dass sich eine Pizza durch n geradlinige Schnitte, die von Rand zu
Rand verlaufen, in hochstens 1/2 (n^2+ n + 2) Stucke teilen lasst.

mein ansatz:

induktionsanfang n=0

1/2 (0^2+0+2)=0

induktionsannahme für alle n aus N gilt:

1/2(n^2+ n + 2)

induktionsschritt: n ->n+1

zu zeigen 1/2 (n^2+n+2)=(n+1)

,

,

,

.

stimmt das so? oder liege ich völlig daneben?

Answer 1

f(n) = 1/2·(n^2 + n + 2)

Hier mal ein paar Werte für n und f(n)

[0, 1;
1, 2;
2, 4;
3, 7;
4, 11;
5, 16;
6, 22;
7, 29;
8, 37;
9, 46;
10, 56]

Also ist dein Induktionsanfang schon verkehrt.

1/2·(0^2 + 0 + 2) = 1

Mit keinem Schnitt haben wir also maximal ein Teil.

Mit dem ersten Schnitt kommt ein Teil hinzu. Weil der zweite Schnitt den ersten kreuzen kann kommen maximal 2 Teile hinzu. Weil der dritte Schnitt maximal beide vorhergehenden Schnitte schneiden kann kommen maximal 3 Teile dazu. Es kommen also beim n. Schnitt maximal n Teile hinzu.

1/2·(n^2 + n + 2) + (n + 1) = 1/2·((n + 1)^2 + (n + 1) + 2)

n^2/2 + n/2 + 1 + n + 1 = 1/2·(n^2 + 2·n + 1 + n + 1 + 2)

n^2/2 + 3·n/2 + 2 = 1/2·(n^2 + 3·n + 4)

n^2/2 + 3·n/2 + 2 = n^2/2 + 3·n/2 + 2

qed.

Comments

Wen ich eine Pizza mit 2 Schnitten Teile erhalte ich 4 Stücke, wie kann es aber sein, dass wenn ich eine Pizza mit 3 Schnitten teile, 7 Stücke erhalte?

Meiner Meinung nach können durch 3 geradlinige Schnitte maximal 6 Stücke entstehen. Analog sehe ich das auch bei allen weiteren Zahlen (4,5,...).

Würde dringen um eine erklärung bitten!

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Schneide nicht durch die Mitte sondern so, dass in der Mitte noch ein dreieckiges Stück entsteht.

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Man kann nichts beweisen, was man sich nicht vorstellen kann. Von daher sollte man sich wenn man keine große Ahnung hat einfach mal eine Skizze machen.

Wenn ich die 3. Gerade zeichne kann diese 2 Geraden schneiden. Nämlich die, die schon da sind. Wenn ich 2 geraden schneide, durchquere ich 3 Gebiete. Wenn diese 3 Gebiete halbiert werden kommen 3 Gebiete hinzu.

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Danke für Eure Hilfe, jetzt hab ichs verstanden, hätte nur meine Pizza anders geschnitten ;) !

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Ja. Ich auch. Ein Mathematiker ist halt sehr faul und überlegt sich gerne in wie viel Teile man eine Pizza mit möglichst wenig schnitten zerteilen kann.
Das die Berechnung dabei wesentlich mehr arbeit erfordert ist ihm dabei egal.
Und ein echter Mathematiker würde jetzt noch untersuchen ob eine Zerteilung mit 3 Schnitten in 7 teilen auch so durchgeführt werden kann, dass alle Stücke dabei den gleichen Flächenanteil haben.

Wie gut das wir also keine echten Mathematiker sind und uns meist nur mit dem Essen von Pizza begnügen.

PS. Das Volumen einer Pizza lässt sich mit der Pizza-Formel berechnen:

V = Pi·z·z·a

Hier ist z der Radius der Pizza und a die Höhe der Pizza.