es sei $$ (f_n) $$ eine Funktionenfolge in $$ C^0([0,1]) $$ Zu zeigen ist: Wenn $$ f_n $$ gegen eine Funktion $$ f \in C^0([0,1]) $$ bezüglich der Supremumsnorm $$ ||·||_\infty $$ konvergiert, dann konvergiert $$ f_n $$ auch bezüglich $$ ||·||_1 $$ gegen f.
Es ist ja zu zeigen, dass $$ ||f_n-f||_\infty \to 0 \Rightarrow ||f_n-f||_1 \to 0 $$ gilt. Aber wie muss man hier vorgehen?
