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Bestimmen Sie explizit ¯5−1, ¯6−1 und ¯7−1 in Z23.

EDIT: Nachtrag 9.5.2018:

lina.PNG.jpeg

von

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie explizit ¯5 −1 in Z23

Stichworte: rechenaufgabe,explizit

Bestimmen Sie explizit ¯5 −1 in Z23

es ist nicht klar, was mit 'explizit ¯5' gemeint ist!

3 Antworten

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Ok, die erste ist möglicherweise die schwierigste, es ist

5*14 = 1 mod 23

Die anderen kannst du ja mal selbst versuchen.

(PS: Tippfehler beseitigt.)

von 22 k

verstehe ich nicht, kannst du das einmal bitte erklären? DAnke

Ich bin davon ausgegangen, dass mit "Z23" der Restklassenring (Z_(23),+,*) gemeint ist und die multiplikativen Inversen 5^{-1} usw. bestimmt werden sollen.

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  Was soll das heißen?  " Minus 5 "  ?   


     (  -  5  )  -  1  =  (  -  6  )


    Für normale Menschen sind zulässige Reste mod 23


       0  ;  +/-  (  1  ;  2  ;  ... , 11 )


    außerdem ist es üblich, diesen Restklassenkörper  F23 zu nennen und nicht  |Z23  .

von 5,5 k

also so sieht die Aufgabe aus, verstehen tue ich es nicht

lina.PNG

Was soll das heißen?  " Minus 5 "  ? 

Ich glaube, es ist nach der Lösung von $$5 \cdot x \equiv 1 \mod 23$$ gesucht. Siehe https://www.mathelounge.de/540893/bestimmen-sie-explizit-5-1-6-1-und-7-1-in-z23.

für mich vollkommen unverständlich, kannst du mir das kurz erklären? Danke

  Du musst da mehr Systematik reinlegen.  In der Algebra lernt man, dass die 23 Elemente von F23   die Wurzeln sind des Polynoms


     f  (  x  )  =   x  ^  23  -  x  =  0      (  1  )


    ( Schau noch mal im v.d.  Waerden oder noch besser in dem Skript von Otto Haupt; es ist eine direkte Folge des binomischen Lehrsdatzes. )   D. h. aber die multiplikative Gruppe    G23 , das sind alle außer der Null,  bestehen aus sämtlichen    22 .  Einheitswurzeln:


     g  (  x  )  =  x  ^   22  -  1  =  0      (  2  )


     Sämtliche Einheitswurzeln bilden grundsätzlich eine zyklische Gruppe. Was ist  die Strategie?  Gehen wir aus von einem Element, das Teiler fremd ist zu 22 , im einfachsten Fall 3 .   Bilden wir alle  22 Potenzen:


  3 ^ 1  = 3 , 3 ² = 9 , 3 ³ = 4 , 3 ^ 4 = ( - 11 )     (  3a  )

  3 ^ 5 = ( - 10 ) ; 3 ^ 6 = ( - 7 ) , 3 ^ 7 = 2      (  3b  )

  3 ^ 8 = 6 , 3 ^ 9 = ( - 5 ) , 3 ^ 10 = 8 , 3 ^ 11 = 1   ( 3c  )


     Ist das Prinzip so weit verstanden?

   Hey merkste was? Meine Strategie geht auf.   Ursprünglich hatten wir ja einen Zyklus der Periode 22 erwartet.   Ich hatte dir aber auch empfohlen, als Reste nur zuzulassen


      +/-  (  1  ,  ....  ,  11  )            (  4a  )


      und nicht wie üblich


         1  ,  2  ,  3  ,  ...   ,  22      (  4b  )


           Mit Vorzeichen rechnen können wir nämlich; und  der Vollzyklus zerfällt auf einmal in zwei Halbzyklen.

   Ich sortiere ( 3a-c ) noch einmal wegen der besseren Übersicht:


   1 = 3 ^ 11 , 2 = 3 ^ 7 , 3 = 3 ^ 1 , 4 = 3 ³ , 5 = - 3 ^ 9   ( 5a )


   6 = 3 ^ 8 , 7 = - 3 ^ 6 , 8 = 3 ^ 10 , 9 = 3 ²    (  5b  )

   10  =  -  3  ^  5  ,  11  =  -  3  ^ 4    (  5c  )


   So jetzt sieht das schon mal nach was aus.  Beginnen wir mit 1/5 .   Die  5 finden wir in ( 5a ) , das ist  5 = - 3 ^  9  .  wo wollen wir hin?  1 =  3 ^ 11  , also müssen wir  multiplizieren mit   (  -  3  ²  )  =  (  -  9  )  Machen wir die Probe; 

      5  *  (  -  9  )  =  (  -  45   )  =  1  mod  23  .

  

    Jetzt 1/6 .  In ( 5b ) kriegst du gesagt  6 = 3 ^ 8  .   Wir müssen also suchen nach 3 ³  in ( 3a ) , und das ist 4 .  Also  1/6  =  4 .   Probe geht glaub ich im Kopf.

   7 findest du in ( 5b ) , das ist  (  -  3  ^ 6  )   Wir suchen also ( - 3 ^ 5  )  ;   und das gibt 10 in ( 3b )  .  1/7  = 10 .  Probe:

    10  *  7  =  70  =  1  mod  23

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23er Reihe: -23, 0, 23, 46, 69, ....

Alles modulo 23 gemeint! = ist jeweils ≡ zu lesen und Querstriche über die Zahlen schreiben!

6^{-1} * 6 = 1

4*6 = 24 = 1

==> 6^{-1} = 4 

23er Reihe: -23, 0, 23, 46, 69, .... 

7^{-1} * 7 = 1

2*7 = 14

10*7 = 70 = 3*23 + 1 = 1

Somit 7^{-1} = 10 

von 162 k 🚀

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