Beweisen von Ungleichungen - Mittelwertsatz

Question

Hey!

Ich hole grade verpassten Stoff aus der Vorlesung nach und bin da über das Thema Mittelwertsatz gestolpert. Leider wird dieses Thema in dem Skript nur innerhalb 3 Zeilen beschrieben und nichts mehr. Ich habe das Prinzip so realtiv verstanden dank Wikipedia und alten Threads.

Mir fehlt jedoch ein konkretes Beispiel.

Es wäre wirklich sehr hilfreich, wenn mir jemand erklären könnte wie ich Ungleichungen mittels des Mittelwertsatzen anhand dieser Ungleichung bestimmen kann:

|cos(b)-cos(a)|≤|b-a|

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Vom Duplikat:

Titel: mithilfe des Mittelwertsatzes Ungleichung beweisen

Stichworte: mittelwertsatz,ungleichung,beweis,differentialquotient,ableitung

Ich habe gar keine Ahnung. Bitte ich brauche die ganze Lösungsweg. 

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Siehe hier

https://www.mathelounge.de/541839/beweisen-von-ungleichungen-mittelwertsatz

Answer 1

|cos(b)-cos(a)|/|b-a| ≤ 1 oder in Worten: Der Betrag der Sekantensteigung zwischen zwei Punkten der Cos-Kurve P_a(a|cos(a)) und P_b(b|cos(b)) ist höchstens 1. Oder nach dem Mittelwertsatz: Der Betrag der Steigung der Cos-Kurve ist höchstens 1. Formal: -1≤cos'(x)≤+1.

Answer 2

schau Dir mal folgenden Graphen an.

~plot~ cos(x);0.5x-2.1;{2.545|cos(2.545)};{5.287|cos(5.287)};[[-1|7|-2|+2]] ~plot~

Die rote Gerade schneidet die Cosinus-Funktion u.a. in zwei Punkten bei ca. \(a \approx 2,5\) und \(b\approx 5,3\). Der Betrag der Steigung \(m\) der roten Geraden ist:

$$|m| = \frac{|\cos(b) - \cos(a)|}{|b-a|}$$

Der Mittelwertsatz besagt nun, dass es zwischen \(a\) und  \(b\) mindestens eine Stelle \(c\) gibt, wo die Steigung der Cosinusfunktion identisch zur Steigung der Geraden ist - also \(=m\) ist. Die Steigung der Cosinusfunktion ist \(-\sin(c)\). Demnach ist

$$\frac{|\cos(b) - \cos(a)|}{|b-a|} = |m| = |-\sin(c)|\le 1$$ da der Funktionswert von \(\sin(x)\) den Betrag von 1 nie überschreitet. Multiplikation mit \(|b-a|\) führt sofort zu $$ |\cos(b) - \cos(a)| \le |b-a| $$

Answer 3

  Du müsstest uns schon sagen, was du mit Hilfe des  MWS  bewisen willst.   Ich selbst benutze ihn ja Standard mäßig als Schmuddeltrick; im elementarunterricht kommt immer wieder die Steckbriefaufgabe, eine Parabel aus drei Knoten zu rekonstruieren

   ( Wir erinnern uns; das Problem, ein Polynom n-ten Grades lässt sich eindeutig bestimmen aus ( n + 1 )  Srützpunkten. )

   Im Falle der Parabel wirst du geführt auf das ( gekoppelte )  3  X  3  LGS 

     a2  x  ²  1;2;3  +  a1  x1;2;3  +  a0  =  0      (  1  )

      Die Unbekannte  a0  eliminiere ich jetzt über die Ableitung; im Sonderfall der Parabel gilt der MWS nämlich wörtlich. Als Mittelwert  x_a;b auf dem Intervall [ a ; b ] stellt sich der aritmetische Mittelwert  heraus

        xa;b  =  1/2  (  a  +  b  )    (  2  )

    D.h. auf den beiden Intervallen  J1 und J2 ermittelst du die jeweilige  Sehnensteigung   m1;2  ;  dann reduziert sich das LGS  auf einen trivialen  2 x 2 Fall:

    2  a2  x_J1;2  +  a1  =  m1;2   (  3  )

    Aber ich muss doch sehr bitten.  Im Übrigen stellt die Aussage des  MWS eine  GLEICHUNG  dar und keine Ungleichung.  Wenn mich meine Erinnerung nicht gänzlich im Stich lässt, kannst du mit seiner Hilfe sehr wokl aivh gleichungen beweisen bzw. die Existenz von Lösungen.

Answer 4

  Na hier herrscht mal wieder Schweigen im Walde ...

   Mein Hinweis;  die Ableitung der Kosinusfunktion ist ( dem Betrage nach ) nirgends größer Eins.

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Könntest du vielleicht so nett und schickst mir die Lösung? :) Weil ich keine Ahnung über dieses Thema habe und ich muss bis 21.30 Uhr die Frage ankreuzen.