harmonische Reihe alternieren und umordnen

Question

Diese Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten, sowie auch der gegebene Hinweis erscheint mir nicht plausibel, deshalb würde ich mich sehr über eure Hilfe bei dieser Aufgabe freuen freuen:) !!

Die alternierende harmonische Reihe ist bekanntlich konvergent
und es gilt ∑_{k=0 bis ∞}(−1)^k  _*1/(k+1) = 1 −1/2 +1/3 −1/4· · · = ln(2) (dies wird im Folgenden als bekannt vorausgesetzt). Wir betrachten nun die umgeordnete Reihe 1 + 1/3 −1/2 +1/5 +1/7 −1$4 + + − + + − · · · .Zeigen Sie, dass diese gegen 3/2 ln(2) konvergiert.

Hinweis: Betrachten Sie die Teilfolgen S_4l und 1/2S_2l der Partialsummen S_n =∑_{k=0 bis n}(−1)^k  *1/(k+1) der alternierenden harmonischen Reihe. Berechnen Sie die Summe S_4l +1/2 S_2l für l = 1, 2, 3, und zeigen Sie, dass allgemein S_4l +1/2S_2l mit der Partialsumme P_3l der ersten 3l Folgenglieder der umgeordneten Reihe übereinstimmt.

Comments

umgeordnete Reihe 1 + 1/3 −1/2 +1/5 +1/7 −1$4 + + − + + − · · ·

Wie geht das genau?

Meinst du

umgeordnete Reihe 1 + 1/3 −1/2 +1/5 +1/7 −1/4 +1/9 +1/10 −1/8 +1/11 +1/12 −1/14 + 1/13 · · 

oder

umgeordnete Reihe 1 + 1/3 −1/2 +1/5 -1/4 +1/7 −1/6 + + − + + − · · ·

Hilft dir denn der Link nicht weiter?

Was hast du damit genau gemacht?

Answer 1

Die umgeordnete Reihe lautet also:

1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... + ... - ... + ...

P3n = ∑ (k = 1 bis n) (1/(4·k - 3) + 1/(4·k - 1) - 1/(2·k))

S4 + 1/2·S2 = 7/12 + 1/2·1/2 = 5/6
P3 = 5/6

S8 + 1/2·S4 = 389/420
P6 = 389/420

S12 + 1/2·S4 = 13327/13860
P9 = 13327/13860

Das wäre jetzt nur allgemein zu zeigen.

Comments

Also ich denke das ist verständlich, wie man auf die Werte kommt .

Selbst wär mir jetzt aber nicht klar wie man auf den Grenzwert kommt

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Was ist denn der Grenzwert von S_4l + 1/2·S_2l ?

Ist das auch die Summe aus den Grenzwerten der einzelnen Summanden ?