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Guten Abend :)

Diese Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten, sowie auch der gegebene Hinweis erscheint mir nicht plausibel, deshalb würde ich mich sehr über eure Hilfe bei dieser Aufgabe freuen freuen:) !!

Die alternierende harmonische Reihe ist bekanntlich konvergent
und es gilt ∑k=0 bis ∞(−1)*1/(k+1) = 1 −1/2 +1/3 −1/4· · · = ln(2) (dies wird im Folgenden als bekannt vorausgesetzt). Wir betrachten nun die umgeordnete Reihe 1 + 1/3 −1/2 +1/5 +1/7 −1$4 + + − + + − · · · .Zeigen Sie, dass diese gegen 3/2 ln(2) konvergiert.

Hinweis: Betrachten Sie die Teilfolgen S4l und 1/2S2l der Partialsummen Sn =∑k=0 bis n(−1) *1/(k+1) der alternierenden harmonischen Reihe. Berechnen Sie die Summe S4l +1/2 S2l für l = 1, 2, 3, und zeigen Sie, dass allgemein S4l +1/2S2l mit der Partialsumme P3l der ersten 3l Folgenglieder der umgeordneten Reihe übereinstimmt.

von

umgeordnete Reihe 1 + 1/3 −1/2 +1/5 +1/7 −1$4 + + − + + − · · ·

Wie geht das genau?

Meinst du

umgeordnete Reihe 1 + 1/3 −1/2 +1/5 +1/7 −1/4 +1/9 +1/10 −1/8 +1/11 +1/12 −1/14 + 1/13 · · 

oder

umgeordnete Reihe 1 + 1/3 −1/2 +1/5 -1/4 +1/7 −1/6 + + − + + − · · ·

Hilft dir denn der Link nicht weiter?

Was hast du damit genau gemacht?

1 Antwort

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Die umgeordnete Reihe lautet also:

1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... + ... - ... + ...

P3n = ∑ (k = 1 bis n) (1/(4·k - 3) + 1/(4·k - 1) - 1/(2·k))

S4 + 1/2·S2 = 7/12 + 1/2·1/2 = 5/6
P3 = 5/6

S8 + 1/2·S4 = 389/420
P6 = 389/420

S12 + 1/2·S4 = 13327/13860
P9 = 13327/13860

Das wäre jetzt nur allgemein zu zeigen.


von 388 k 🚀

Also ich denke das ist verständlich, wie man auf die Werte kommt .

Selbst wär mir jetzt aber nicht klar wie man auf den Grenzwert kommt

Was ist denn der Grenzwert von S4l + 1/2·S2l ?

Ist das auch die Summe aus den Grenzwerten der einzelnen Summanden ?

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