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Es sei G ⊂ C ein Gebiet (d.h. eine offene und zusammenhängende Menge)
und f = u + iv eine holomorphe Funktion in G. Zeigen Sie, daß  die Konstanz von f in G  hier folgt:


Es gilt u = h ◦ v mit einer differenzierbaren Funktion h : R → R

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Da \(f\) holomorph ist, gelten für \(u\) und \(v\) die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

[1] : \(\partial_x u = \partial_y v\)

[2] : \(\partial_y u = -\partial_x v\)

Wenn es nun eine differenzierbare Funktion \(h : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) mit \(u = h\circ v\) gibt erhält man andererseits mit Kettenregel:

[3] : \(\partial_x u = (h'\circ v)\cdot\partial_x v\)

[4] : \(\partial_y u = (h'\circ v)\cdot\partial_y v\)

Wegen [1] und [2] erhält man:

[5] : \(\partial_y v = (h'\circ v)\cdot\partial_x v\)

Wegen [3] und [4] erhält man:

[6] : \(-\partial_x v = (h'\circ v)\cdot\partial_y v\)

Wegen [5] und [6] erhält man:

[7] : \(-\partial_x v = (h'\circ v)\cdot(h'\circ v)\cdot\partial_x v\)

Also:

[8] : \(-\partial_x v = (h'\circ v)^2\cdot\partial_x v\)

Angenommen es gäbe eine Stelle \(z\in G\) mit \(\partial_x v (z) \ne 0\). Dann würde man aus [8] den Widerspruch \(\underbrace{(h'\circ v)^2}_{\geq0} = \underbrace{-1}_{<0}\) erhalten. Die Annahme ist also falsch gewesen. Damit folgt:

[9] : \(\partial_x v = 0\)

Mit [9] und [3] folgt:

[10] : \(\partial_x u = 0\)

Damit ist dann \(f' = \partial_x u + \text{i} \partial_x v = 0 + \text{i} 0 = 0\). Es folgt dass \(f : G\to\mathbb{C}\) lokal konstant ist. Da außerdem \(G\) als Gebiet insbesondere zusammenhängend ist, folgt schließlich, dass \(f\) konstant ist.

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