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Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine differenzierbare Funktion mit \( f^{\prime}(x)=f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

Zeigen Sie, dass es dann ein \( c \in \mathbb{R} \) gibt, sodass \( f(x)=c \cdot e^{x} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt.

Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung um zu zeigen, dass der Quotient \( f(x) / e^{x} \) konstant sein muss.




Kann mir einer sagen wie ich hier vorgehen muss?

von

Es wäre sinnvoll zu wissen, welcher Satz verwendet werden darf.

Vom Duplikat:

Titel: Analysis differenzierbarkeit Aufgaben

Stichworte: differenzierbarkeit

Hallo.


Wie löst man diese Aufgaben?


2 von 2 Aufgabe 4 Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine differenzierbare Funktion mit \( f^{\prime}(x)=f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass es dann ein \( c \in \mathbb{R} \) gibt, sodass \( f(x)=c \cdot e^{x} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt. Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung um zu zeigen, dass der Quotient \( f(x) / e^{x} \) konstant sein muss.

Hinweis: Verwenden Sie einen Satz aus Vorlesung ...

Und schon mal deine Vorlesungsmitschrift oder das Skript in die Hand genommen?

2 Antworten

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Definiere die Funktion \(h\) durch \(h(x)=f(x)\cdot\mathrm e^{-x}\). Offenbar ist \(h\) differenzierbar und wegen \(f^\prime(x)=f(x)\) gilt nach der Produktregel$$h^\prime(x)=f^\prime(x)\cdot\mathrm e^{-x}-f(x)\cdot\mathrm e^{-x}=0$$für alle \(x\in\mathbb R\). Nach besagtem Satz ist \(h\) konstant, d.h. es existiert ein \(c\in\mathbb R\) mit \(h(x)=c\). Daraus folgt$$f(x)=h(x)\cdot\mathrm e^x=c\cdot\mathrm e^x,$$und das ist die Behauptung.

von 2,4 k
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f(x)=c·ex (c∈ℝ) sind die einzigen Funktionen,

für die gilt f(x)=f '(x).

von 82 k 🚀

Soll nicht eben das gezeigt werden?

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