Ja, du kannst einen fairen Würfel annehmen. Dass bedeutet aber dann nur, dass bei einem einzelnen Wurf die Augenzahlen \(\lbrace1, 2, 3, 4\rbrace\) gleichverteilt sind bzw. dass bei einem zweifachen Wurf die Ergebnise aus \(\Omega= \lbrace1, 2, 3, 4\rbrace^2\) gleichverteilt sind. Das bedeutet nicht, dass auch die Augensummen beim zweimaligen Wurf \(\lbrace{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\rbrace}\) gleichverteilt ist.
\(P(X = 2) = P(\lbrace(1, 1)\rbrace) = \frac{1}{16}\)
\(P(X = 3) = P(\lbrace(1, 2), (2, 1)\rbrace) = \frac{2}{16}\)
\(P(X = 4) = P(\lbrace(1, 3), (2, 2), (3, 1)\rbrace) = \frac{3}{16}\)
\(P(X = 5) = P(\lbrace(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)\rbrace) = \frac{4}{16}\)
\(P(X = 6) = P(\lbrace(2, 4), (3, 3), (4, 2)\rbrace) = \frac{3}{16}\)
\(P(X = 7) = P(\lbrace(3, 4), (4, 3)\rbrace) = \frac{2}{16}\)
\(P(X = 8) = P(\lbrace(4, 4)\rbrace) = \frac{1}{16}\)
Erwartungswert:
[spoiler]
\[\text{E}(X) = \sum_{k=2}^{8} k\cdot P(X = k) = 2\cdot\frac{1}{16}+3\cdot\frac{2}{16}+4\cdot\frac{3}{16}+5\cdot\frac{4}{16}+6\cdot\frac{3}{16}+7\cdot\frac{2}{16}+8\cdot\frac{1}{16} = 5\]
[/spoiler]
Varianz:
[spoiler]
Hier würde ich den Verschiebungssatz verwenden.
\[\text{E}(X^2) = \sum_{k=2}^{8} k^2\cdot P(X = k) = 2^2\cdot\frac{1}{16}+3^2\cdot\frac{2}{16}+4^2\cdot\frac{3}{16}+5^2\cdot\frac{4}{16}+6^2\cdot\frac{3}{16}+7^2\cdot\frac{2}{16}+8^2\cdot\frac{1}{16} = \frac{55}{2} = 27{,}5\]
\[\text{V}(X) = \text{E}(X^2)-(\text{E}(X))^2 = \frac{55}{2} - 5 = \frac{45}{2} = 22{,}5\]
[/spoiler]
Standardabweichung:
[spoiler]
Hier würde ich den Verschiebungssatz verwenden.
\[\sigma(X) = \sqrt{\text{V}(x)} = \sqrt{\frac{45}{2}} \approx 4,74\]
[/spoiler]
