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Von 100 existierenden Einheiten sind folgende Möglich:

-5 Euro Einheit

-30 Euro Einheit

-100 Euro Einheit

jede ist mindestens einmal vorhanden, die Summe aus allen 100 Einheiten ergibt 1000€.

Was sind nun alle Möglichkeiten für den Wert der 100 Einheiten (bzw. wie oft die 3 Möglichen Einheiten jeweils vorkommen)?

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Sei \(a\in\mathbb{N}\) die Anzahl der 5 Euro Einheiten. Sei \(b\in\mathbb{N}\) die Anzahl der 30 Euro Einheiten. Sei \(c\in\mathbb{N}\) die Anzahl der 100 Euro Einheiten.

Es soll nun sein:

\(a + b + c = 100\)

\(5a + 30 b + 100 c = 1000\)

Löst man dieses lineare Gleichungssystem erhält man

\(a = 80 + \frac{14}{5}c\)

\(b = 20 - \frac{19}{5}c\)

für beliebiges \(c\). Offensichtlich sind \(a\) bzw. \(b\) nur dann ganze Zahlen, wenn \(c\) ein Vielfaches von \(5\) ist. Setze demnach \(c= 5 n\) für \(n\in \mathbb{N}\). Dann erhält man:

\(a = 80 + 14n\)

\(b = 20 - 19n\)

\(c = 5n\)

Für \(n \geq 2\) wäre \(b\) negativ, so dass \(n \leq 1\) sein muss, also \(n = 1\). Die einzige Möglichkeit ist also:

\(a = 94\)

\(b = 1\)

\(c = 5\)

von 1,2 k

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