Betrachte eine sechsstellige natürliche Zahl \(x\) mit Ziffern \(a, b, c, d, e, f\), so dass also \[x = [a, b, c, d, e, f]_{10} = a\cdot10^5 + b\cdot10^4 + c\cdot10^3+d\cdot10^2+e\cdot 10 + f = a\cdot10^5+ [b, c, d, e, f]_{10}\] mit \(a, b, c, d, e, f\in\lbrace0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace\) und \(a\ne0\) ist.
Betrachte die natürliche Zahl \(y\), welche man aus \(x\) erhält, indem man die erste Ziffer nach hinten setzt, so dass also \[y = [b, c, d, e, f, a]_{10} = b\cdot10^5 + c\cdot10^4 + d\cdot10^3+e\cdot10^2+f\cdot 10 + a= \left(b\cdot10^4 + c\cdot10^3 + d\cdot10^2+e\cdot10+f\right)\cdot 10 + a = [b, c, d, e, f]_{10}\cdot 10 + a\] ist.
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Nun soll \(y = 3 x\) sein.
\(y=3 x\)
\( [b, c, d, e, f]_{10}\cdot 10 + a = 3\cdot\left(a\cdot10^5+ [b, c, d, e, f]_{10}\right)\)
\( 10\cdot[b, c, d, e, f]_{10} + a = 3\cdot 10^5 \cdot a +3\cdot [b, c, d, e, f]_{10}\)
\( 7\cdot[b, c, d, e, f]_{10} = (3\cdot 10^5 - 1) \cdot a\)
\( [b, c, d, e, f]_{10} = \frac{299999}{7} \cdot a\)
\( [b, c, d, e, f]_{10} = 42857 \cdot a\)
Für \(a\geq 3\) würde man den Widerspruch \[100000 \geq [b, c, d, e, f]_{10} = 42857\cdot a \geq 42857\cdot 3 = 128571\] erhalten.
Für \(a = 1\) erhält man \( [b, c, d, e, f]_{10} = 42857 \cdot 1 = 42857\) und damit \(x = 142857\).
Für \(a = 2\) erhält man \( [b, c, d, e, f]_{10} = 42857 \cdot 2 = 85714\) und damit \(x = 285714\).
Ergebnis: Es gibt zwei Möglichkeiten \(x\in\lbrace142857, 285714\rbrace\).
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Ein Weg, der mir persönlich auch recht einfach erscheint, wenn man sowieso gerade am PC sitzt: Schreibe ein kleines Programm, welche alle 6-stelligen Zahlen durchprobiert.
