Abcdef Mal 3 ist das selbe wie bcdefA?

Question

Es wird Vorausgesetzt, dass man eine (sechstellige natuerliche) Zahl x verdreifachen kann, indem man die erste Ziffer hinter die Letzte setzt (abcdef -> bcdefa). Wie ermittelt man nun auf einem einfachen Weg alle möglichkeiten für x?

Answer 1

Betrachte eine sechsstellige natürliche Zahl $x$ mit Ziffern $a, b, c, d, e, f$, so dass also $x = [a, b, c, d, e, f]_{10} = a\cdot10^5 + b\cdot10^4 + c\cdot10^3+d\cdot10^2+e\cdot 10 + f = a\cdot10^5+ [b, c, d, e, f]_{10}$ mit $a, b, c, d, e, f\in\lbrace0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace$ und $a\ne0$ ist.

Betrachte die natürliche Zahl $y$, welche man aus $x$ erhält, indem man die erste Ziffer nach hinten setzt, so dass also $y = [b, c, d, e, f, a]_{10} = b\cdot10^5 + c\cdot10^4 + d\cdot10^3+e\cdot10^2+f\cdot 10 + a= \left(b\cdot10^4 + c\cdot10^3 + d\cdot10^2+e\cdot10+f\right)\cdot 10 + a = [b, c, d, e, f]_{10}\cdot 10 + a$ ist.

----------

Nun soll $y = 3 x$ sein.

$y=3 x$

$[b, c, d, e, f]_{10}\cdot 10 + a = 3\cdot\left(a\cdot10^5+ [b, c, d, e, f]_{10}\right)$

$10\cdot[b, c, d, e, f]_{10} + a = 3\cdot 10^5 \cdot a +3\cdot [b, c, d, e, f]_{10}$

$7\cdot[b, c, d, e, f]_{10} = (3\cdot 10^5 - 1) \cdot a$

$[b, c, d, e, f]_{10} = \frac{299999}{7} \cdot a$

$[b, c, d, e, f]_{10} = 42857 \cdot a$

Für $a\geq 3$ würde man den Widerspruch $100000 \geq [b, c, d, e, f]_{10} = 42857\cdot a \geq 42857\cdot 3 = 128571$ erhalten.

Für $a = 1$ erhält man $[b, c, d, e, f]_{10} = 42857 \cdot 1 = 42857$ und damit $x = 142857$.

Für $a = 2$ erhält man $[b, c, d, e, f]_{10} = 42857 \cdot 2 = 85714$ und damit $x = 285714$.

Ergebnis: Es gibt zwei Möglichkeiten $x\in\lbrace142857, 285714\rbrace$.

==========
Ein Weg, der mir persönlich auch recht einfach erscheint, wenn man sowieso gerade am PC sitzt: Schreibe ein kleines Programm, welche alle 6-stelligen Zahlen durchprobiert.

Comments

Die Lösungen sind genau die Zahlen

1*(10^6-1)/7 = 142857

2*(10^6-1)/7 = 285714

entsprechend der Eigenschaft der 7, bei Division durch sie zyklisch vertauschte Perioden der Länge 6 zu erzeugen.