Vektorfeld Laplace Operator anwenden

Question

h : ℝ³ → ℝ³  h(x,y,z) = (xz²,0,y³)^T

Berechne: $${ \triangle ||h|| }^{ 2 }$$ im Punkt(1,2,3)

Meine Idee:

Ich habe zuerst div h = 9  berechnet.

rot h = (12,6,0)^T

mir ist klar wie man

$$\triangle h$$ ausrechnet. Aber diese Normstriche mit hoch zwei verwirren mich etwas, was soll das überhaupt bedeuten ?

Ich habe sie einfach mal ignoriert, vielleicht hilft mir das.

$${ \triangle h = div(grad h) = \nabla ( \nabla } h ) = \nabla \begin{pmatrix} z^2 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} =0$$

Answer 1

Hallo Kathreena,

h : ℝ³ → ℝ³  h(x,y,z) = [xz², 0, y³]^T
Berechne:  Δ || h ||²   im Punkt(1,2,3)

Der Einfachheit halber schreibe ich die Vektoren in Zeilenschreibweise  [x , y, z]  (ohne ^T )

|| h ||  =  √( (x·z²)² + 0² + (y³)² )  →   || h ||²  =  x²·z⁴ + y⁶

grad(x²·z⁴ + y⁶)  =  [2·x·z⁴, 6·y⁵, 4·x²·z³]

Δ || h ||²  =  div( grad(x²·z⁴ + y⁶) )  =  div( [2·x·z⁴, 6·y⁵, 4·x²·z³] )

               =  12·x²·z² + 30·y⁴ + 2·z⁴

Δ || h ||²  im Punkt(1,2,3)  =  750

Gruß Wolfgang

Comments

Ah ok, also einfach nur den Betrag rechnen und dann quadrieren.

Bei || h ||3 wäre es dann wahrscheinlich ³√(x³·z⁶ + 0 + y⁹)

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Bei || h ||³ wäre es ( √(x³·z⁶ + 0 + y⁹) )³   [ ≠ ³√... ]

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grad(x²·z⁴ + y⁶)  =  [2·x·z⁴, 6·y⁵, 4·x²·z³]

Du leitest das erste Element nach x ab dann zweites Element nach y, aber warum ist bei dir das dritte Element nicht 0 ?

Wie ergibt das Sinn, das du das erste Element nochmal nach z ableitest ?

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Wie ergibt das Sinn, das du das erste Element nochmal nach z ableitest ?

x²·z⁴ + y⁶  ist ein skalarer Term (kein Vektor) 

Bei jeder partiellen Ableitung wird der gesamte Term abgeleitet.

∂(x²·z⁴ + y⁶) / ∂z  = 4x² z³ 

der konstante Faktor x² bleibt dabei einfach erhalten.

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immer noch immer wieder gern :-)