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f(x) = (x^2-x-2)·e^{1/2 x}

Die Funktion ist auf Nullstellen,Extremstellen, Wendepunkte zu untersuchen könnte es einer bitte mit Erklärungen aufschreiben wäre super nett :D

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     Für die Nullstellen würde ich nie die Mitternachtsformel ( MF ) bemühen; schau mal unter ===>  Satz von der rationalen Nullstelle  ( SRN )  Und abermals meine Polemik gegen die größte Fälschung der Matematikgeschichte; Wiki et al. schreiben die Entdeckung des SRN Gauß zu.

   Entdecker unbekannt; wahrscheinliches  Jahr der Entdeckung  1975 .  Ich selbst erfuhr erst 2011 vom SRN  über einen Kommentar im Internet.   Du siehst;  Matematik muss gar nicht so dröge und unspannend sein.


       x  ²  -  p  x  +  q  =  0      (  1a  )

       p  =  1  ;  q  =  (  -  2  )    (  1b  )


     Vieta das geschmähte Stiefkind


       q  =  x1  x2        (  2a  )


       Polynom  (  1ab  )  ist normiert;  hier verlangt der SRN  ganzzahlige Lösungen.  Mit  ( 1b;2a )  bleibt da nicht mehr viel Spielraum. Vieta  p  entscheidet über das Vorzeichen:


       p  =  x1  +  x2  =  1      (  2b  )


      Die betragsgrößere Wurzel muss also positiv sein:


       x1  =  (  -  1  )  ;  x2  =  2    (  2c  )


    Halt stop; Ableiten is noch lange nich. Erst müssen wir aus Asymptotik und Knoten den Slalom abstecken.

   An sich ist die e-Funktion überall positiv.  Nur in dem Intervall ( x1 , x2 )  ist das Polynom  negativ . Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

   " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

   D.h. für  x  ===>  (  -  °°  )  geht y gegen  (  +  0  )  ;  bei dieser Asymptotik erwarten wir links von x1 ein Maximum und zusätzlich  noch links von dem Maximum  einen WP .

    In (  x1 , x2 )  muss ein Minimum liegen  ;  zwischen diese beiden Extremata fällt immer ein WP :


   x1 ( w ) < x ( max ) < ( - 1 ) < x ( min ) < 2     (  3a  )

  x1 ( w ) < x ( max ) < x2 ( w ) < x ( min ) < 2    (  3b  )


    Die Ableitung bilden wir durch  ===>  logaritmisches Differenzieren, eine Sonderform des  ===>  impliziten Differenzierens:


     ln  (  y  )  =  1/2  x  +  ln  (  x  ²  -  x  -  2   )     (  4a  )



                                                    2 x - 1

    y  '  /  y  =  0  =  1/2  +    ------------------------       (  4b  )

                                                 x ² - x - 2


       g  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q  =  0        (  4c  )

        p  =  (  -  3  )  ;  q  =  (  -  4  )        (  4d  )


   Die  4  hat die triviale Zerlegung  4 = 1 * 4  so wie die nicht triviale  4  =  2 * 2  . Letztere müssen wir verwerfen, weil x ( max | min )   TEILER  FREMD .

     Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder? Machen wir erst mal fertig;  dann folgt aus Vieta p


     x  (  max  )  =  (  -  4  )  ;  x  (  min  )  =  1  ;  p  =  (  -  3  )   ;  ok   (  5  )


    Wie war das jetzt mit diesem ggt? Sei m ein Teiler;  dann folgt aus Vieta


       m  |  x1;2  <===>  m  |  p  ;  m  ²  |  q     (  6a  ) 


     Ein m , das die rechte Seite von  (  6a  )  befriedigt,  möge  K-Teiler  des Polynoms g  in ( 4c ) heißen  -  "  K  "  wie "  Koeffizient  "  Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt;  unsere Behauptung in ( 4c )


      ggt  x1;2  =  gkt  (  g  )    (  6b  )   


      Siehst du;  und genau das macht mich so stutzig.   Den gkt habe ich entdeckt  noch in der nämlichen Woche, als ich vom SRN erfuhr.  Es ist einfach unglaubhaft, dass ich in den letzten 200 Jahren der erste seit Gauß sein soll ...

  Für die  2. Ableitung  wiederholst du dieses  Spielchen;   den quadratischen Vorfaktor kennen wir ja. Seine wurzeln müssen die beiden Extrema sein; das ergibt dann  ( 4d )


  y  '  =   (  x  ²  +  3  x  -  4  )  exp  (  1/2  x  )     (  7a  )



                                                     2 x + 3

    y " / y ' = 0  =  1/2     +       --------------------------     (  7b  )

                                                 x ² + 3 x - 4


       x  ²  +  7  x  +  2  =  0     |  MF    (  7c  )

    x1;2  (  w  )  =  1/2  [  -  7  -/+  sqr  (  41  )  ]     (  7d  )


   Nein ich bin nicht so tolerant wie eure Pauker;  der TR bleibt in der Schublade.   Ungleichung  ( 3ab ) werden wir durch Zahlen teoretische  Abschätzungen beweisen.


     |  x  (  max  |  <  |  x1  (  w  )  |        (  8a  )

    4  <  1/2  [  7  +  sqr  (  41  )  ]     (  8b  )   |  *  HN    (  8b  )

    8  <  7  +  sqr  (  41  )     |   -  7     (  8c  )

    1  <  sqr  (  41  )     (  8d  )     ;  ok


   Aus der zu beweisenden Behauptung  ( 8a )  haben wir die wahre Aussage  ( 8d ) abgelitten; ist dieses Vorgehen korrekt? Ja; denn wir haben Ungleichung ( 8b ) ausschließlich ===>  Äquivalenzumformungen unterzogen.

   Dass beide WP negativ sein müssen, ergibt sich übrigens aus der cartesischen Vorzeichenregel; dann bleibt eigentlich nur noch zu zeigen


      |  x2  (  w  )  |  <  |  x  max  |          (  9a  )

   1/2  [  7  -  sqr  (  41  )  ]    <  4         (  9b  )

     7  -  sqr  (  41  )  <  8                 (  9c  )


      In  (  9c  )  hast du aber eine ganz drastische Abschätzung, weil ja in jedem Falle  7  <  8

von 5,5 k

  Tschuldigung ich seh grad.  An sich ist die viel scvhärfere Abschätzung zu zeigen


    |  x2  (  w  )  |  <  |  x1  |  =  1     (  2.1  )

     7  -  sqr  (  41  )  <  2     (  2.2  )

      5  <  sqr  (  41  )     (  2.3  )

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die Nullstellen:

(x^2-x-2) e ^ (x/2))=0

Satz vom Nullprodukt:

e ^ (x/2))=0 ->keine Lösungen

(x^2-x-2)=0 ->pq-Formel

x1,2=1/2±√(1/4 +8/4)

x1.2= 1/2± 3/2

x1=2

x2= -1

von 111 k 🚀
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f(x) = (x^2-x-2) e ^ 1/2x 

1.Ableitung
u = x^2 - x - 2
u ´= 2x -1

v = e ^{x/2}
v ´= e^{x/2} * 1/2

u´ * v + u * v ´
(2x -1) * e ^{x/2} + (x^2 - x - 2) * e^{x/2} * 1/2
e^ (x/2) * ( 2x - 1   + (x^2 - x - 2)  * 1/2 )
e^ (x/2) * ( 2x - 1  + x^2 / 2 - x/2 - 1 )
f ´( x ) = e^ (x/2) * ( x^2 / 2 + 3/2 x - 2 )
Stelle mit waagerechter Tangente
( x^2 / 2 + 3/2 x - 2 ) = 0
x = -4
und
x = 1

von 111 k 🚀

Für welches x ∈ ℝ gilt
x = -4
und
x = 1
?

Die Lösung ist richtig. Was ist dein Problem?

Die Lösung ist nicht richtig.

Für welches x ∈ ℝ gilt
x = -4
und
x = 1 ?

@nn: Für kein x gilt beides gleichzeitig.

Die beiden Stellen mit horizontaler Tangente sind vielleicht schon x1 = -4 und x2 = 1.

Hast du eventuell eine ausführliche Antwort an RomanGa hier https://www.mathelounge.de/537472/stetigkeit-der-funktion-im-punkt-prufen-y-2-y-2-fur-x0-und-f-0-0#c544190 ?

Das wäre interessant als eigene Antwort. Ich vermute aber, dass RomanGa diesen Kommentar auch selbst ausbauen könnte. Interessant wäre auch eine Methode, die immer (?) geht? https://www.mathelounge.de/537472/stetigkeit-der-funktion-im-punkt-prufen-y-2-y-2-fur-x0-und-f-0-0?show=544190#c544190

Ich habe die ganze Diskussion der Aufgabe überflogen.

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