Binomialkoeffizient - Addition

Question

Ich habe eine Frage zu dem Additionstheorem, .... den Beweis hierfür habe ich mir schon ausführlich angesehen ...aber unabhängig davon ist noch eine Frage offen geblieben.

Man findet ja wirklich überall den Beweis zu (n über k) + (n über (k+1) ) = ( n+1 über  k+1 ) ...hoffe ihr wisst wie ich es meine ...habe die Formatierung nicht hinbekommen.

Wie addiert man allerdings die Binomialkoeffizienten wenn es k+3 beispielsweise ist .... ?

(n über k+2) + (n über (k+3) = ?

:) Die Logik, wie man tatsächlich addiert habe ich noch nicht verstanden

Liebe Grüße

Answer 1

(n über k+2) + (n über (k+3) = ( (n+1) über (k+3)

Wenn beide zu addierende das gleiche n oben haben und

sich im unteren Wert nur um 1 unterscheiden, ist die

Summe den Bino.koeffizient mit oben n+1 und unten der

größere der beiden.

Answer 2

(n über k+2) + (n über k+3)

n!/((k + 2)!·(n - k - 2)!) + n!/((k + 3)!·(n - k - 3)!)

Willst Du Bruch und Bruch addieren,
Bruch und Bruch gar subtrahieren,
musst Du sie vor allen Dingen
auf den selben Nenner bringen.
Zähler dann zusammenfassen
Nenner unverändert lassen.

Du kommst auf

(n + 1)! / ((k + 3)!·(n - k - 2)!) = (n + 1 über k + 3)

Comments

Du hättest auch stupide substituieren können

(n über k+2) + (n über k+3)

Subst h = k+2

(n über h) + (n über h+1)

Das kennst du und kannst addieren und dann kannst du resubstituieren.

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ich würde dich gerne dazu nochmal etwas fragen ...

wie sieht es denn aus wenn ich (n+3 über k-1) + (n-2 über k+3) habe ....

eure Lösungsvorschläge sind vollkommen einleuchtend ...doch bei neuer Gestaltung der beiden Summanten ...weiß ich leider wieder nicht, wie ich es am besten lösen soll ...welche regeln man beachten muss....

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@mathecoach ....

wie darf ich denn diese brücke erweitern bezüglich der Fakultäten ..also bei normaler Bruchrechnung habe ich wirklich keine Probleme ... aber wärst du so lieb und würdest es mir für diesen Fall zeigen? Das Multiplizieren mit Fakultäten etc, hatte ich leider bisher nicht

komme leider nicht auf dein vorgeschlagenes ergebnis ..die einzelnen schritte wären perfekt ...weil ich mich dann vielleicht endlich besser in das Thema reinfinden kann :( 

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wenn ich den Anfang dieser Zeile hinbekommen hätte

(n + 1)! / ((k + 3)!·(n - k - 2)!)

wie komme ich dann auf

= (n + 1 über k + 3)

ich komme einfach nicht drauf.....

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Das ist nur etwas Training

Du siehst

(n + 1)! / ((k + 3)!·(n - k - 2)!)

= (n + 1)! / ((k + 3)!·((n + 1) - (k + 3))!)

= (n + 1 über k + 3)

Es kann hilfreich sein sich ein Grundlagenzettel zu machen mit den Rechenregeln bei Potenzen

Also

n! = (n - 1)! * n

Oder

n! * (n + 1) = (n + 1)!

Das sind Dinge die immer wieder drankommen und die ich oben auch benutzt habe.