lineares Gleichungssystem Matrix

Question

wie geht der rechenweg und was wäre das richtige ergebnis? danke!

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Löse zunächst das LGS $Ly=b$ durch Vorwärtseinsetzen (bestimme also zuerst y₁).
Löse anschließend das LGS $L^\top x=y$ durch Rückwärtseinsetzen (bestimme also zuerst x₃).
Dann gilt wie gewünscht $Ax=LL^\top x=Ly=b$.

Answer 1

L*L^T * x = b

L^T * x = L^-1*b = (27,10,2)^T

        x = (L^T)^-1* (27,10,2)^T = (0,4,1)^T

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danke, aber welchen wert nimmt dann das x3 an?

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x3 ist doch die 1.

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kommt bei dir 1 heraus oder was meinst du?

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auf welches ergebnis kommst du? danke

Answer 2

Hallo sunnieh,

so wie das gegeben ist, kann man es unmittelbar berechnen. Es ist

$$L \cdot L^T \cdot x = b$$

Setzte $z = L^T \cdot x$ und berechne das $z$ aus

$$L \cdot z = b$$ also

$$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 5 & 3 & 0\\ 7& -2 & 2 \end{pmatrix} \cdot z = \begin{pmatrix} 81 \\ 165 \\ 173 \end{pmatrix}$$

Daraus folgt

$$\begin{aligned} z_1 &= \frac{81}{3} = 27 \\ z_2 &= \frac13 (165 - 5 \cdot 27) = 10 \\ z_3 & = \frac12 (173 - 27 \cdot 7 + 10 \cdot 2) = 2\end{aligned}$$ und nun das $x$ aus $L^T \cdot x = z$ - also

$$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 27 \\ 10 \\ 2\end{pmatrix}$$

Demnach ist

$$\begin{aligned} \colorbox{#ffff00}{x3} &= \frac12 \cdot 2 = \colorbox{#ffff00}{1} \\ x_2 &= \frac13 (10 + 2 \cdot 1) = 4 \\ x_1 &= \frac13 (27 - 5 \cdot 4 - 1 \cdot 7) = 0\end{aligned}$$ bzw. $$x = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Gruß Werner

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Bitteschön - gern geschehen