0 Daumen
200 Aufrufe

kann mir bitte jemand helfen? wie geht der rechenweg und was wäre das richtige ergebnis? danke!


12345.jpeg

von

Löse zunächst das LGS \(Ly=b\) durch Vorwärtseinsetzen (bestimme also zuerst y1).
Löse anschließend das LGS \(L^\top x=y\) durch Rückwärtseinsetzen (bestimme also zuerst x3).
Dann gilt wie gewünscht \(Ax=LL^\top x=Ly=b\).

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

L*L^T * x = b

L^T * x = L^{-1}*b = (27,10,2)^T

        x = (L^T)^{-1}* (27,10,2)^T = (0,4,1)^T

von 228 k 🚀

danke, aber welchen wert nimmt dann das x3 an?

x3 ist doch die 1.

kommt bei dir 1 heraus oder was meinst du?

auf welches ergebnis kommst du? danke

+1 Daumen

Hallo sunnieh,

so wie das gegeben ist, kann man es unmittelbar berechnen. Es ist

$$L \cdot L^T \cdot x = b$$

Setzte \(z = L^T \cdot x\) und berechne das \(z\) aus

$$L \cdot z = b$$ also

$$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 5 & 3 & 0\\ 7& -2 & 2 \end{pmatrix} \cdot z = \begin{pmatrix} 81 \\ 165 \\ 173 \end{pmatrix}$$

Daraus folgt

$$\begin{aligned} z_1 &= \frac{81}{3} = 27 \\ z_2 &= \frac13 (165 - 5 \cdot 27) = 10 \\ z_3 & = \frac12 (173 - 27 \cdot 7 + 10 \cdot 2) = 2\end{aligned}$$ und nun das \(x\) aus \(L^T \cdot x = z\) - also

$$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 27 \\ 10 \\ 2\end{pmatrix}$$

Demnach ist

$$\begin{aligned} \colorbox{#ffff00}{x3} &= \frac12 \cdot 2 = \colorbox{#ffff00}{1} \\ x_2 &= \frac13 (10 + 2 \cdot 1) = 4 \\ x_1 &= \frac13 (27 - 5 \cdot 4 - 1 \cdot 7) = 0\end{aligned}$$ bzw. $$x = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Gruß Werner

von 36 k

Bitteschön - gern geschehen

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community