Stetigkeit einer Funktion

Question

Hallo liebe Leute!

Es wäre wirklich klasse, wenn mir jemand eine Lösung zu dieser Aufgabe geben könnte:): (Die folgende Funktion ist als Bild eingeblendet, da ich Schreibfehler vermeiden wollte)

Auf der Teilmenge {z ∈ ℂ||z| < 2} der komplexen Zahlen betrachten wir die Funktion f mit
Werten in den komplexen Zahlen, die wie folgt gegeben ist:

Zeigen Sie, dass f stetig ist.

Answer 1

  Tjaa; das läuft jetzt ganz analog ab wie im Reellen. Als Erstes müsstest du dich mal überzeugen, dass z1 = 1 tatsächlich  eine gemeinsame Nullstelle von Zählerpolynom  Z ( z ) und Nennerpolynom  n ( z ) ist. wir haben hier also den Fall 0 : 0 .

   Was tut man, wenn man eine Wurzel einer quadratischen Gleichung bereits kennt oder in Verdacht hat?  Vieta das geschmähte Stiefkind;  hat dir bestimmt noch keiner gesagt. Wetten?  Deshalb ist es ja das geschmähte Stiefkind.   Im Falle Z ( x ) ist es aber noch einfacher, weil du ja ein Binom hast:

     Z  (  z  )  =  (  z  -  1  )  ²         (  1  )

     Beide Wurzeln sind hier 1  , nicht nur z1 , sondern auch z2 .    Mit Köpfchen sind wir sogar noch schneller fertig;  überleg mal.  Da ja n ( z ) ein anderes Polynom ist als Z ( z )  mit anderen Koeffizienten, kann hier unmöglich auch z2 = 1 sein.  Die ganze Chose wird doch nur deshalb Null, weil im Zähler der Linearfaktor ( z - 1 ) überlebt.  Denk am besten nochmal genau darüber nach.

   Die Alternative hierzu wäre die Krankenhausregel:

                  ( z - 1 ) ²

   lim      --------------------      =       (  2a  )

                 z ² + z - 2

                       2 ( z - 1 )

      =   lim   ---------------------------         (  2b  )

                          2 z + 1

     auch in ( 2b ) ist doch piep Wurscht egal, was im Nenner steht.  Die doppelte Nullstelle im Zähler setzt sich durch, und damit wird das Ergebnis Null.