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Die Menge M(n, K) der n×n-Matrizen über dem Körper K bildet zusammen mit der Matrixaddition und der
skalaren Matrixmultiplikation einen Vektorraum. Eine n × n-Matrix A mit den Einträgen aij , 1 ≤ i, j ≤ n,
heißt symmetrisch, wenn für alle 1 ≤ i ≤ j ≤ n gilt, dass aij = aji. Sei S(n, K) die Menge der symmetrischen
n × n-Matrizen über K.


a) Zeigen Sie, dass S(n, K) einen Untervektorraum von M(n, K) bildet.
b) Bestimmen Sie die Dimension von S(n, K).

c) Geben Sie für S(3, R) eine Basis an.


Begründen Sie ihre Aussagen!

von

1 Antwort

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Hallo

 du prüfst einfach die Vektorraumaxiome für die symmetrischen matrizen nach . das ist einfach. wenn du es nicht siehst, dann nimm eine 2 x 2 und eine 3 x 3 symmetrische Matrix. Wieviele verschiedene Einträge kann die Matrix denn haben? das gibt dir die dimension der Basis. eine Basis bekommst du mit sym Matrizen, die nur 0 und 1 enthalten, (die 1 jeweils symmetrisch, damit natürlich auch die Nullen)

Gruß lul

von 65 k 🚀

Zu dimension...

3x3 matrix

1 2 3

2 5 6

3 6 9

hat doch aber nur dimension 2, da letzte zeile 0 0 0 wird. Wie soll man dann das allgemeim sagen?

Hallo Lu, kannst du oder wer anders das vielleicht nochmal genauer erklären ?


VIelen Dank :)

hallo

 es geht doch um symmetriache Matrizen, du schreibst irgendeine hin wo die letzte Zeile ein vielfaches der ersten ist., die Dimension ist aber nicht die Anzahl der lin unabhängigen Zeilen,

schreib eine ALLGEMEINE symmetrische 2 x 2 - und 3 x 3 - Matrix hin, wieviele verschiedene Buchstaben aus a,b,c,-- brauchst du dazu, das gibt die Dimension bei 2 x 2 sind es nur 2 gleiche buchstaben auf der Diagonalen und 2 gleiche auf den 2 anderen Platzen. jetzt du für 3 x 3 und dann die Verallgemeinerung für n x n.

Gruß lul

Hallo

in meinem Kommentar fehlt bei ALLGEMEIN  allgemeine symmetrische Matrix

lul

EDIT: Habe "symmetrische" in deinem Kommentar eingefügt. Weiss nun nicht genau, was ich (?) hier balle erklären soll.

sorry, ich meinte lul hatte mich beim namen verlesen

Hast du dir jetzt mal eine allgemeine 3 x 3 symmetrische Matrix fabriziert?( du brauchst abcd)

Gruß lul

ja habe ich :)

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