Funktionenschar: fa(x)=(x+a)*e^x. Schnittpunkte berechnet. Nun Funktionsgleichung angeben.

Question

Ich bräuchte mal eine Hilfe bei folgender Aufgabe:

Die Anfangsgleichung lautet fa(x)=(x+a)*e^x

Zeigen Sie dass die Graphen f(x) und f '(x) genau einen Schnittpunkt haben, und berechnen Sie seine Koordinaten in Abhängigkeit von a. Geben Sie die Gleichung  der Funktion g an, auf deren Graph alle Schnittpunkte liegen. Bestimmen Sie den Wert von a, für den sich die Graphen von fa und fa' rechtwinklig schneiden.

Also : Den Schnittpunkt habe ich rausbekommen: Der lautet S (0,5-a/0.5*e^-(0,5-a))

So, um die Gleichung g zu bestimmen habe ich mal zwei Punkte genommen: S1 mit a= 1 und S2 mit a=2- Dann habe ich die Steigung m berechnet mit der Formel: m= y2-y1/x2-x1 und dann einen Punkt in die allgemeine Formel eingesetzt: y=m*x+n. Als Ergebnis habe ich aber folgendes raus (gerundet): f(x)=-1,42*x+1,16. Das Habe ich dann mal in Geogebra eingegeben aber der Graph geht nicht durch den Schnittpunkt. Ich kann meinen Fehler nicht fnden. Wäre nett wenn mir einer helfen könnte. Und dann noch zum zweiten Teil der Aussage, wo sich die beiden Graphen rechtwinklig schneiden: Ich habe mir gedacht: Da wo f(x) die Steigung m hat muss f'(x) die Steigung -1/m haben oder? Wäre nett wenn mir einer mal ein Kontrollergebnis angegeben könnte

Answer 1

Ich denke du hast die Funktion falsch notiert

fa(x) = e^{-x}·(x + a)
fa'(x) = e^{-x}·(- x - a + 1)

Schnittpunkt fa(x) = fa'(x)

e^x·(x + a) = e^{-x}·(- x - a + 1)
x + a = - x - a + 1
x = 0.5 - a

Damit bei x der Schnittpunkt ist muss also für a gelten

a = 1/2 - x

Das kann man für a in die Ausgangsgleichung einsetzen und erhält die Funktion auf der alle Schnittpunkte liegen

f(x) = e^{-x}·(x + a) = e^{-x}·(x + 1/2 - x) = 1/2·e^{-x}

Für den zweiten Teil mussen die Steigungen im Schnittpunkt senkrecht sein. damit muss gelten

fa'(0.5 - a) = -1/fa''(0.5 - a)
e^{a - 1/2}/2 = 2·e^{1/2 - a}/3
a = 1/2 - LN(3/4)/2 = 0.6438410362

Ich skizziere dann die beiden Funktionen und die Ortskurve aller Schnittpunkte