Ableitung - logarithmischen Ableitung

Question

ich habe eine Frage bezüglich der Funktion f(x)

Ich möchte diese Funktion ableiten. Ich muss die Kettenregel + Produktregel anwenden.

Habe dann die Funktion:

g(x) = x

g'(x) = 1 

h(x) = ln(x+e^x)²

h'(x) =

g(x) = ln(x+e^x)

g'(x) = 1 / (x+e^x) * 1 + e^x

i(x) = ln(x)

i'(x) = 1 / x

k(x) = x+e^x

k'(x) = 1+e^x

Jetzt meine Frage stimmt dieser Gedanke? Und was müsste dann bei h'(x) raus kommen?

Könnte mir jemand den Rechenweg für die Ableitung zeigen (Schritt für Schritt) ?

Answer 1

Hallo

1. verwende zur Vereinfachung  ln(a²)=2*ln(a) dann hast du schon eine Kettenregel weniger

(ln(x+e^x))'=1/(x+e^x)*(x+e^x)'=1/(x+e^x)*(1+e^x)

also $$(2*ln(x+e^x))' =2*\frac{1+e^x}{x+e^x}$$

bis ins letzte immer mehr funktionsnamen zu erfinden lohnt sich nicht, damit kommst du zu sehr durcheinander, mach es wie ich oben, die 2 Funktionen für die Produktregel einzeln ist ok.

Answer 2

h(x) = ln(x+e^x)²

h'(x) = (2*(x+e^x)*(1+e^x))/(x+e^x)²

Du kannst noch kürzen.

Es gilt:

f(x) = ln(g(x)) --> f'(x) = g'(x)/g(x)

Answer 3

Ich würde wie folgt vorgehen:

f(x)= x*ln(x+e^x)²

1. Produktregel anwenden

d/dx f(x)= 1*ln(x+e^x)² + x * d/dx ln(x+e^x)²

2. d/dx ln(x+e^x)² lösen

Dafür Kettenregel anwenden:

2*(ln(x+e^x)) * d/dx ln(x+e^x)

3. d/dx ln(x+e^x) lösen

Dafür Kettenregel anwenden:

(1/(x+e^x))*(1+e^x)

Nun nur noch alles zusammensetzten und Fertig!

d/dx f(x) = (1*ln(x+e^x)²+x*2*(ln(x+e^x))*(1+e^x))/(x+e^x)

Answer 4

dass du Kettenregel und Produktregel brauchst stimmt.

Man hat $$f=u\cdot v$$

$$f'=u'\cdot v + u\cdot v'$$

$$u = x\qquad u'=1\\ v=ln(x+e^x)^2$$

v ist eine verkettete Funktion

$$v=b(z)$$

$$v'=b'(z)\cdot z'$$

$$b= x^2\qquad b'=2x\\ z=ln(x+e^x)$$

z ist auch wiederrum verkettet

$$z=s(t)$$

$$z'=s'(t)\cdot t'$$

$$s=ln(x)\qquad s'=\frac{1}{x}\\t=x+e^x\qquad t'=1+e^x$$

Jetzt wird alles nur noch eingesetzt:

$$z'=\frac{1}{x+e^x}\cdot(1+e^x)=\frac{1+e^x}{x+e^x}$$

$$v'=b'(z)\cdot z'=2\cdot ln(x+e^x)\cdot \frac{1+e^x}{x+e^x}=2\cdot \frac{ln(x+e^x)\cdot (1+e^x)}{x+e^x}$$

Man hat also

$$f'(x)=1\cdot ln(x+e^x)^2+x\cdot 2\cdot \frac{ln(x+e^x)\cdot (1+e^x)}{x+e^x}\\=\frac{(x+e^x)\cdot ln(x+e^x)^2+2x\cdot ln(x+e^x)\cdot(1+e^x)}{x+e^x}\\=\frac{ln(x+e^x)\cdot[ln(x+e^x)\cdot(x+e^x)+2x\cdot(1+e^x)]}{x+e^x}$$

Das ganze dann hier abzuleiten, ist besonders hier auch auf nicht nur einer Weise machbar. Man kann ja auch die Funktion etwas anders umschreiben. So hier:$$f(x)=x\cdot ln(x+e^x)^2 =x\cdot ln(x+e^x)\cdot ln(x+e^x)$$

Dann hätte man

$$f=u\cdot v\cdot w$$

$$f'=u'\cdot v\cdot w +u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'$$