LGS mit reellem Parameter

Question

Gegeben ist das vom reellen Parameter t abhängige Gleichungssystem
a−c+d=4
−2a+2b+(t+1)d=−6
3a+(3t+3)c+5d=12
5a+(3t+1)c+8d=20

Meine Aufgabe ist es, t so zu bestimmen, dass das LGS
1) nur eine
2) unendlich viele
3) gar keine lösung
besitzt und gegebenenfalls die Lösungsmenge anzugeben.

Mit dem Gauss-Verfahren hab ich es bis hier geschafft:
−2a+2b+(t+3)d=−6
2b−2c+(t+5)=2
(3t)c+2d=4
d=0

Damit erhalte ich
d=0
c=43t
b=1+43t
a=4+43t.

Müsste ja dann bedeuten, dass es keine Lösung gibt für t=0, oder?

Von hier weiss ich leider nicht weiter, bzw. bin ich mir nicht sicher ob ich bisher überhaupt richtig liege.
Ich würde mich wahnsinnig freuen, wenn mir jemand bei diesem Aufgabentyp helfen könnte, denn er kommt definitiv nächsten Montag in meiner Prüfung dran.

Answer 1

Nach meiner Rechnung ergibt sich mit Gauss folgende Matrix

$$  \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -2 & t+3 & 2 \\ 0 & 0 & 3t+6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}  $$

Damit sind die Lösungen für \( t \ne -2 \) $$ d = 0, c = 0, b=1 \text{ und } a = 4 $$

und für \( t = -2 \) ergeben sich unendlich viele Lösungen der Form

$$  d=0, c, b=c+1, a=c+4  $$

Comments

Vielen, vielen Danke. Hab meinen Fehler erkannt

Answer 2

Ich erhalte a=2(t+2)/(2t+5)  b=-(3t²+13t+17)/(2t+5)  c=-4/(2t+5)  d=6(t+2)/(2t+5).  

Answer 3

  Hey jetzt hätten die hoch verehelichten Herren Administratoren doch eigentlich Anlass zu frohlocken; ich zitiere einen User. Ullis Lösung halte ich für der Art Brillant, dass ich mich darauf beziehe.

   Stellen wir dochmal eine ketzerische Frage; besitzt dein  LGS  eigentlich einen Fixpunkt?  Dann wäre

  a = a ( t ) = const = c1     ( 1a ) 

   b = b ( t ) = const = c2    ( 1b )

    c = c ( t ) = const = c3    ( 1c )

   d = d ( t ) = const = c4    ( 1d ) 

      Ich notiere grad nochmal dein  LGS

   a         −          c +          d = 4  ( 2a )
2 a - 2 b                -  (t+1) d = 6  ( 2b )
3 a          +3(t+1)c+  5      d =12 ( 2c )
5 a          +(3t+1)c+  8     d  =20 ( 2d )

    Zum Einsatz kommt das Verfahren des ===>  impliziten Differenzierens; unter Beachtung der Ketten-(und Produktregel )  leiten wir ( 2a-d ) nach t ab nach Maßgabe von ( 1a-d )

 ( da/dt ) - ( dc/dt ) + ( d d/dt ) = 0  ( 3a )

  2 ( da/dt ) - 2 ( db/dt ) - d - ( t + 1 ) ( d d/dt ) = 0    ( 3b )

  3 ( da/dt ) + 3 c + 3 ( t + 1 ) ( dc/dt ) + 5 ( d d/dt ) = 0    ( 3c )

  5 ( da/dt ) + 3 c + ( 3 t + 1 ) ( dc/dt ) + 8 ( d d/dt ) = 0     ( 3d )

   Die Nummerierung  ( a - d ) habe ich konsequent beibehalten, damit ihr euch zu Recht kennt .  Notwendige Bedingung für Fixpunkt ist nun

  ( da/dt )  =  ( db/dt ) =    (  4a  )

   ( dc/dt )  =  ( d d/dt )  =  0   (  4b  )

     Aus  (  3b  ) folgt dann  d  =  0  und aus  ( 3cd )  überein stimmend  c= 0 . Wäre nur die Frage, ob diese Lösung trägt, d.h.  in ( 2a-d ) ist die hinreichende Bedingung nachzuprüfen.  Dann führen ( 2acd) überein stimmend auf a = 4 , und aus ( 2b ) lesen wir ab b = 1 .

   Aus der Eindeutigkeit folgt aber, dass dieser Fixpunkt auch die einzige Lösung sein muss - zu Mindest so lange die Koeffizientenmatrix  ( KM ) regulär ist.   Und sonst gilt die allgemeinere Aussage

   Allgemeine Lösung des  LGS  =  Sonderlösung  +  Kern  (  KM  )   (  5  )

    Als Sonderlösung können wir natürlich wieder uns eren Fixpunkt nehmen.  Null Setzen der Determinante

                |     1    0        - 1                    1          |

   det  =   |      2    2           0              - ( t + 1 )   | (6a)

               |      3    0      3 ( t + 1 )             5        |

               |      5    0      3 t + 1                  8       |

    Hier bietet sich Enteickeln nach der 2. Spalte an:

  

              |     1         - 1                    1       |

det =      |      3    3 ( t + 1 )              5      |   (  6b  ) 

              |      5    3 t + 1                  8      |

 = 1 * 3 ( t + 1 ) * 8 - 1 * 5 * 5 + 1 * 3 ( 3 t + 1 ) -( 7a)

 - 1 * 3 ( t + 1 ) * 5 - ( - 1 ) * 3 * 8 - 1 * 5 ( 3 t + 1 ) = 0   ( 7b )

   3  t  +  6  =  0   ===>  t  =  (  -  2  )   (  7c  )

    Ich notiere jetzt dein homogenes  LGS für den Fall t = ( - 2 )

       a             −     c  +      d  =  0        (  8a  )
   2  a  -  2  b             +      d  =  0        (  8b  )
  3   a             -  3  c  +  5  d  =  0        (  8c  )
  5   a             -  5  c  +  8  d  =  0        (  8d  )

     Ich setze

      z  :=  a  -  c       (  9  )

     Dann folgt

       z  +      d  =  0       (  10a  )

   3  z  +  5  d  =  0       (  10c  )

   5  z  +  8  d  =  0       (  10d  )

      Aus ( 9;10acd ) folgt

        d  =  0  ;  z  =  0  ===>  a  =  c    (  11  )

    Und  (  8b  ) gibt  a  = b , so dass du den Kernvektor hast

   Kern  =  (  1  |  1  |  1  |  0  )        (  12  )