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Bestimmen Sie sämtliche komplexen Nullstellen von

\( p(x)=x^{4}+x^{3}+2 x^{2}+x+1 \)

und schreiben Sie p als Produkt von reellen Polynomen von höchstens Grad zwei.

(Hinweis: p(i)=0.)

von

3 Antworten

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Wegen p(i) = 0 ist (x−i) ein Linearfaktor von p. Weiter sind die Koeffizienten alle reell, daher ist auch p(−i) = 0 und (x+i) ein weiterer Linearfaktor. Multipliziere die beiden bekannten Linearfaktoren nun aus und Du hast einen der beiden gesuchten reellen Faktoren.  Dividiere dann p durch diesen reellen Faktor und Du bekommst den anderen. Zerlege den dann weiter in Linearfaktoren.
von
0 Daumen

Hi,

rate eine Nullstelle.

Diese wäre zum Beispiel x1=i. Automatisch ist demnach auch x2=-i eine Nullstelle.

 

Nun Polynomdivision mit (x^2+1) (was sich ja aus den Nullstellen x1 und x2 ergibt)

 

(x^4+x^3+2x^2+x+1):(x^2+1)=x^2+x+1

 

Mit der pq-Formel (oder quadratischer Ergänzung etc.) den quadratischen Ausdruck herannehmen:

x^2+x+1=0 für

x3=-1/2+i√(3)/2 und x4=-1/2-i√(3)/2

 

Grüße

von 140 k 🚀

Polynomdivision ist für mich kein Problem, aber ich verstehe nicht warum ich hier eine nullstelle "raten" muss und woher ich weiß ob meine erratene nullstelle richtig ist

Nun bei einer Polynomdivision ist es "immer" nötig zu raten.

Und ob Du richtig geraten hast, erfährst Du, indem Du Deine Nullstelle in p(x) einsetzt.

Du wirst feststellen, dass p(i)=0, also eine Nullstelle ist ;)

Das ist übrigens auch in der Aufgabenstellung als Hinweis erwähnt.

was ich noch nicht ganz nachvollziehen kann ist wie man auf (x2+1) bei der division kommt

Hiermit: (x-i)*(x+i)

0 Daumen

x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)·(x^2 + x + 1) = 0

x^2 + 1 = 0
x^2 = -1
x = -i ∨ x = i

x^2 + x + 1 = 0
x^2 + x = -1
x^2 + x + 1/2^2 = -1 + 1/2^2
(x + 1/2)^2 = -3/4
x + 1/2 = ± i·√3/2
x = - 1/2 ± i·√3/2

 

von 440 k 🚀

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