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Beweis a+b<_ ggt(a;b)+kgv(a;b)


Ich soll den im Bild angezeigten Satz umgangssprachlich ausdrücken und beweisen.

Des weiteren soll ich zeigen in welchen Fällen das = gilt .

Ich verzweifelte leider an der Aufgabe, könnte mir bitte jemand helfen ?15275988541742641559479116071088.jpg

von

1 Antwort

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Die Summe vom größten gemeinsamen Teiler und kleinstem

gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen ist immer mindestens so groß

wie die Summe der Zahlen selbst.

Ihr hattet sicher     a*b = ggT(a,b) * kgV(a,b) also    (a*b) / ggT(a,b) = kgV(a,b)

mit ggT(a,b)=d wird aus deiner Ungleichung

                         a+b ≤   d  +    (a*b) / d

und weil d nicht negativ ist kannst du multiplizieren

                (a+b)*d ≤   d^2   +    a*b

            <=>   0 ≤   d^2   + a*b  -  (a+b)*d

            <=>   0 ≤   d^2   + a*b  -   ad    - bd

         <=>   0 ≤  (a-d)*(b-d)

           und die rechte Seite besteht aus zwei Faktoren, von denen keiner

negativ werden kann, weil ein Teiler (d) niemals größer als die Zahl ist,

die erteilt.

Gleichheit gibt bei d=a oder d=b, wenn also der ggT von a und b

gleich a oder gleich b ist, d.h. wenn

a Teiler von b oder b Teiler von a ist.

von 198 k 🚀

Kennen Sie einen Beweis dazu ?

Hab ich ergänzt. Anleitung stand doch in der

Aufgabe.

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