Bezeichne (a1, a2) jene Extremstelle, in der F den größeren Wert annimmt …(Lagrange-Funktionen, Aussagen prüfen)

Question

Aufgabe:

Die Funktion

F(x₁,x₂)=1⋅x₁+30⋅x₂

besitzt unter der Nebenbedingung
x₁²+x₂² = 36

zwei lokale Extremstellen.

Bezeichne (a₁, a₂) jene Extremstelle, in der F den größeren Wert annimmt, und (b₁, b₂) jene Extremstelle, in der F den kleineren Wert annimmt.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

▢ Keine der anderen Anwortmöglichkeiten trifft zu.

▢ Der Lagrange-Multiplikator beträgt |3.75|

▢ Es gilt |a₁|=0.10.

▢ Es gilt F(b₁, b₂) = -180.10

▢ Es gilt |b2|=6.00.

Answer 1

Hallo sunnieh,

ich schreibe x für x₁  und y für x₂

L(x,y,λ) = x + 30·y + λ·(36 - x^2 - y^2)

L_x = 1 - 2·λ·x  = 0

L_y = 30 - 2·λ·y = 0

L_λ = - x^2 - y^2 + 36 = 0

Lösungen des Gleichungssystems:

(x = - 6·√901/901 ∧ y = - 180·√901/901 ∧ λ = - √901/12)

                             ∨ (x = 6·√901/901 ∧ y = 180·√901/901 ∧ λ = √901/12)

gerundet:

(x = - 0.20  ∧  y = - 6.00  ∧ λ = - 2.50 )

                             ∨  (x = 0.20  ∧  y = 6.00  ∧ λ = 2.50 )

(a₁ , a₂)  ≈  ( 0.20  ; 6.00 )

(b₁ , b₂₎   ≈  ( - 0.20 ; - 6.00 )

F(b₁ , b₂)  ≈  −180.10  und  |b₂| ≈ 6.00  sind also richtig

Gruß Wolfgang

Answer 2

Vielleicht hilft das schon etwas:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+x%2B30y+with+x%5E2+%2By%5E2+%3D36