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Berechnen Sie das folgende Integral näherungsweise sowohl mit der Sehnentrapezformel als auch mit der Simsons-Formel.


Verwenden Sie dabei eine äquidistante Zerlegung mit n=4.


15 (x+1)^{-2} dx


kann man mit hier bitte weiter helfen?

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also beim Sehnentrapezverfahren erhält man:

Ansatz:

$$ \frac{f(a)+f(b)}{2}\cdot \frac{b-a}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}{f\Big(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\Big)} $$

a : Untergrenze

b : Obergrenze

n : äquidistante Zerlegung

Dann hat man also:

$$\begin{aligned} \int_1^5{\frac{1}{(1+x)^2}}dx&\approx \frac{f(1)+f(5)}{2}\cdot \frac{5-1}{4}+\sum_{k=1}^{4-1}{f\Big(1+k\cdot\frac{5-1}{4}\Big)}\\&= \frac{f(1)+f(5)}{2}+\sum_{k=1}^{3}{f(k+1)}\\&=\frac{f(1)+f(5)}{2}+f(1+1)+f(2+1)+f(3+1)\\&=\frac{f(1)+f(5)}{2}+f(2)+f(3)+f(4)\\&=\frac{5}{36}+\frac{769}{3600}=\frac{141}{400}=\underline{\underline{0,3525}}\end{aligned}$$

Nun das Simpsonsverfahren:

Ansatz:
$$ \int_a^bf(x)dx\approx \frac{b-a}{6n}\cdot (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+\cdots +2y_{2n-2}+4y_{2n-1}+y_{2n}),\\0\leq k \leq 2n\\y_k=f\Big(a+k\cdot\frac{b-a}{2n} \Big) $$

Dann hat man also:

$$ y_k=f\Big(1+k\cdot\frac{5-1}{2\cdot 4} \Big)=f\Big(1+0,5\cdot k \Big) \\ \frac{b-a}{6n}=\frac{5-1}{6\cdot 4}=\frac{1}{6}  $$

$$ \int_1^5{\frac{1}{(1+x)^2}}dx\approx \frac{1}{6}\cdot\Bigg(f\Big(1+0,5\cdot 0 \Big)+4\cdot f\Big(1+0,5\cdot 1 \Big)+\\2\cdot f\Big(1+0,5\cdot 2 \Big)+4\cdot f\Big(1+0,5\cdot 3 \Big)+2\cdot f\Big(1+0,5\cdot 4 \Big)+\\4\cdot f\Big(1+0,5\cdot 5 \Big)+2\cdot f\Big(1+0,5\cdot 6 \Big)+4\cdot f\Big(1+0,5\cdot 7 \Big)+f\Big(1+0,5\cdot 8 \Big) \Bigg)\\=\frac{1}{6}\cdot\Big(f(1)+4f(1,5)+2f(2)+4f(2,5)+2f(3)+4f(3,5)+2f(4)+4f(4,5)+f(5) \Big)\\=\frac{1}{6}\cdot\Bigg(\frac{1}{4}+4\cdot\frac{4}{25}+2\cdot\frac{1}{9}+4\cdot\frac{4}{49}+2\cdot\frac{1}{16}+4\cdot\frac{4}{81}+2\cdot\frac{1}{25}+4\cdot\frac{4}{121}+\frac{1}{36} \Bigg)\\=\frac{1}{6}\cdot\Bigg(\frac{1}{4}+\frac{16}{25}+\frac{2}{9}+\frac{16}{49}+\frac{1}{8}+\frac{16}{81}+\frac{2}{25}+\frac{16}{121}+\frac{1}{36} \Bigg)=\underline{\underline{0,333548813}}  $$

von 12 k

Vielen Dank war sehr hilfreich^^

Kein Problem:) Achso bei der Formel für das Sehnentrapezverfahren habe ich vergessen die Summe auch mal die Breite zu nehmen. Das ist in diesem Fall zum Glück nicht erheblich, da dieser Faktor (b-a)/n 1 ist.

Es müsste aber so lauten:

$$ \frac{f(a)+f(b)}{2}\cdot \frac{b-a}{n}+\frac{b-a}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n-1}{f\Big(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\Big)} $$

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