Wo trifft der Billardball auf die Bande, wenn Anfangs- und Endpunkt bekannt sind?

Question

Bekannt sind: \( d, e, f, g, c=\sqrt{\left(g^{2}+e^{2}\right)} \)

Situation wie beim Billard, aber ohne Drall/Effet der Kugel. Ausfallswinkel = Einfallswinkel (w1=w2)

Die Kugel wird unten angestoßen, prallt links an der Bande ab und trifft letztlich das Ziel rechts oben.

Wie berechnet man den Punkt an der linken Bande, wenn Anfangs- und Endpunkt bekannt sind?

Answer 1

Nenne die untere mit dem Fragezeichen bezeichnete Strecke h1 und die darüber liegende, ebenfalls mit Fragezeichen bezeichnete Strecke h2.

Dann gilt:

g = h1 + h2

Weiterhin gilt ( wegen tan ( x ) = Gegenkathete von x / Ankathete von x ):

tan ( w2 ) = d / h1 <=> h1 = d / tan ( w2 )

tan ( w1 ) = f / h2

bzw. wegen w1 = w2:

tan ( w2 ) = f / h2 <=> h2 = f / tan ( w2 )

Setzt man die beiden letzten der drei fett gesetzten Gleichungen in die erste fett gesetzte Gleichung ein, dann erhält man:

g = d / tan ( w2 ) + f / tan ( w2 )

<=> g * tan ( w2 ) = d + f

<=> tan ( w2 ) = ( d * f ) / g

<=> w2 = arctan ( ( d + f ) / g )

d, f und g sind bekannt, also kann man w2 ausrechnen.

 

Bezeichnet man nun den Abstoßwinkel der Kugel zur Bande mit alpha, dann erhält man:

alpha = 180 - 90 - w2 = 90 - w2

 

Nun kann man h1 mit der Tangensfunktion berechnen. Es gilt:

tan ( alpha ) = h1 / d 

<=> h1 = d * tan ( alpha ) 

 

Setzt man hier die Bestimmungsgleichungen für alpha und w2 ein, erhält man:

h1 = d * tan ( 90 - w2 )

<=> h1 = d * tan ( 90 - arctan ( ( d + f ) / g ) ) 

also eine Formel für h1, die nur von den bekannten Längen d, f und g abhängt.

 

Setzt man zum Beispiel d = 3, f = 8 und g = 3, dann erhält man:

h1 = d *  tan ( 90 - arctan ( 11 / 3 ) ) = 0,818 m

Comments

Eine Frage habe ich noch:

Wenn die rechte Bande angespielt wird, wie ändert sich dann deine Formel?
Diese: h1 = d * tan ( 90 - arctan ( ( d + f ) / g ) )

:D

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Sorry, ändert sich nicht (Denkfehler!) ;-)

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Wenn die rechte Bande angespielt wird, kann das Loch oben rechts auf diese Weise nicht erreicht werden.

Wenn aber statt dessen das Loch oben links erreicht werden soll, dann musst du in der Formel e statt d verwenden.

Answer 2

Das geht deutlich einfacher mit dem Strahlensatz, wenn du dir das Billardfeld an der linken Bande gespiegelt vorstellst.

h1/d = g/(f + d)

h1 = d·g/(d + f)

Setzt man zum Beispiel d = 3, f = 8 und g = 3, dann erhält man:

h1 = 3·3/(3 + 8) = 9/11 = 0.8181818181