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Es seien

F(x) = $$\int_{-1}^{1} \frac{e^{-x^2 * (1+t2)}}{1+t2}dt $$

G(x):= $$\int_{-x}^{x} e^{-t^2}dt $$

Ich soll nun zeigen, dass F und G differenzierbar sind und für alle $$x \in (0, \infty)$$ die Identität F'(x)= G'(x)/2 gilt.

Ich habe bereits gezeigt, dass F diffbar ist, indem ich gezeigt habe, dass f, also das IN dem Integral ($$ \frac{e^{-x^2 * (1+t^2)}}{1+t^2}$$) stetig partiell diffbar ist. Die Ableitung von F(x) habe ich als $$-2e^{x^2} \int_{-1}^{1} e^{u^2}du$$ bestimmt. Wenn ich aber G'(x) berechnen will, stoße ich auf ein Problem. Wenn ich g, also e-t^2 partiell nach x ableite, kommt doch 0 raus, somit wäre dann auch meine Ableitung von G'(x) nach Kettenregel null. Wo ist jetzt genau der Fehler ?

von

Vom Duplikat:

Titel: Quadrat eines Integrals

Stichworte: integral,integralrechnung,integration

Ana2 Blatt07.pdf (0,3 MB)

Aufgabe 3a)

Da ist G(x) als das Quadrat eines Integrals definiert. Wie soll ich das verstehen, beziehungsweise damit rechnen ?
Wie finde ich die Partiellen Ableitungen von g, wenn g der Ausdruck unter dem Integral ist?
Wie finde ich die Ableitung von G ? Ganz normal mit der Differentiation von Parameterabhängigen Integralen ?

MfG

Da ist G(x) als das Quadrat eines Integrals definiert. Wie soll ich das verstehen, beziehungsweise damit rechnen ?

Integral ausrechnen (zumindest in Gedanken) und dann das Resultat, das noch von x aber nicht von t abhängt, quadrieren. 

Skärmavbild 2018-06-04 kl. 13.13.42.png

Aus Symmetriegründen kannst du übrigens G(x) = (2 * ∫_(0)^x e^{-t^2} dt) ^2

G(x) = 4 ( ∫_(0)^x e^{-t^2} dt) ^2 denken. 

Also quasi die ganze Zeit normal INNERHALB des Quadrates rechnen ?

Okay, ich werds mal ausprobieren, vielen dank;)

Bitte.

Du wirst keine "Stammfunktion" finden. Dennoch kannst du nach der oberen Grenze ableiten. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis#Der_Satz

Also da verstehe ich jetzt leider nicht, was mit " nach der oberen Grenze ableiten " gemeint ist.

@racine:

Ziel der Hausaufgaben ist es, sich mit den Aufgaben auseinanderzusetzen. Dabei darf man sich ( meist sogar: soll) Hilfe bei Kommilitonen oder von außen suchen, wenn man nicht weiter kommt. Auch dabei setzt man sich auseinander, wenn man nicht gerade nur abschreibt.


@akition:

Es ist bei uns gemäß den Schreibregel gute Sitte, die Aufgaben abzuschreiben. Keiner drückt gerne auf einen fremden Link. Zudem würde ein Copy+Paste von etwaigen Phrasen dem Helfer die Arbeit erleichtern ;).

Habt ihr das nicht in der VL gemacht?

Also  F habe ich abgeleitet mit der Formel der Differntiation von Parameterintegralen und bekomme da das Gaußsche Fehlerintegral raus.

-2ex^2 * Integral von -1 bis 1 von (eu^2 du). Ich glaube, darauf wollten die auch hinaus. Die Regeln sind mir durchaus bekannt, nur der Ausdruck "Nach der Oberen Grenze ableiten " hatte mich irgendwie verwirrt :D


Aber G ist doch keine Verkettung von zwei Funktionen oder ? Ist doch ein normales Integral, wenn ich INNERHALB des Quadrats rechnen soll.

Ich habe jetzt erstmal die beiden partiellen Ableitungen von der Funktion unter dem Integral, g genannt, berechnet. Sind ja nach x abgeleitet 0 und nach t abgeleitet : -2t*et^2.Damit kann ich dann ja sagen, dass g stetig partiell diffbar ist, also G auch stetig partiell diffbar ist und somit generell differenzierbar. Die Ableitung bleibt dann ja noch zu berechnen. Laut Differntiation von Parameterintegralen Ist G'(x) ja dasselbe, wie wenn ich g differenziere (nach x) und dann das Integral darüber ausrechne. Aber wenn ich g nach x differenziere, hab ich ja 0. Wo ist hier genau mein Denkfehler ?

@Fakename :

Die Formel ist sicher hilfreich, aber ich glaube, dass ich die so nicht verwenden darf, weil wir das in der Vorlesung nicht definiert haben.

Vielleicht kann mir dennoch jemand helfen, der auch helfen will:

Wenn ich jetzt doch auch die Kettenregel anwende bekomme ich doch  durch Differntiation von Parameterintegralen wieder die 0 raus, weil ich et^2 nach x differenziere, da G(x) ja von x abhängt. Das würde mir die Kettenregel ja aber auch auf 0 hauen. 

Hab leider das Einfügen verhauen :/ Hier also nochmal richtig:



Es seien

F(x) = $$\int_{-1}^{1} \frac{e^{-x^2 * (1+t2)}}{1+t2}dt $$

G(x):= $$\int_{-x}^{x} e^{-t^2}dt $$

Ich soll nun zeigen, dass F und G differenzierbar sind und für alle x \in (0, \infty) die Identität F'(x)= G'(x)/2 gilt.

Ich habe bereits gezeigt, dass F diffbar ist, indem ich gezeigt habe, dass f, also das IN dem Integral ($$ \frac{e^{-x^2 * (1+t^2)}}{1+t^2}$$) stetig partiell diffbar ist. Die Ableitung von F(x) habe ich als $$-2e^{x^2} \int_{-1}^{1} e^{u^2}$$du bestimmt. Wenn ich aber G'(x) berechnen will, stoße ich auf ein Problem. Wenn ich g, also e-t^2 partiell nach x ableite, kommt doch 0 raus, somit wäre dann auch meine Ableitung von G'(x) nach Kettenregel null. Wo ist jetzt genau der Fehler ?

Wäre super, wenn mir jemand erklären könnte, was ich da falsch verstanden habe.

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