Kurvendiskussion Extrema f''(x) = 0, dann einfach weiter ableiten?

Question

Extrama berechnen - Lösung lautet:

f (x) = (x^2 + 1) e^{x^2}

Es gilt f'(x) =−2x^3 *e^{−x^2}
Das ist nur für x = 0 gleich Null, das heißt das ist der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Da f''(0) = f'''(0) = 0 und f4 (0) = −12 ist hier tatächlich ein lokales Maximum, welches zugleich global ist.

Frage: Wie funktioniert das, wenn die zweite Ableitung Null ist? Die leiten einfach so lange ab, bis etwas anderes als 0 rauskommt?

Es könnte ja auch ein Sattelpunkt sein? Was passiert bei einem Sattelpunkt wenn man ableitet bis was anderes als Null auskommt?

Comments

der Satz den ich suchte lautet:

f'(x0) = f''(x0) = ... = f^{n-1}(x0) = 0 und f^{n}(x0) != 0

i) ist n ungerade => f hat in x0 kein Extrema

ii) ist n gerade => Minimum oder Maximum bestimmung wie immer.

Weiß gerade nicht mehr wo ich den dann gefunden habe, aber genau das war eben das was ich suchte.

Answer 1

f (x) = (x² + 1) e^{x^2} hat die Ableitung f'(x)=2xex^{^2}(x²+2) und die einzige Nullstelle ist x=0. Berechne  f(0), f(1) und f(-1) dann ist klar dass bei x=0 ein Minimum liegt

Answer 2

  Drei Antworten.

    1) Mit Sattelpunkten ( SP )  hast du nix zu tun. Ein Sattel ist immer eine ( mindestens zweidimensionale ) Fläche und keine Kurve.   Ein Sattel hat in einer Richtung ein lokales Minimum und gleichzeitig in einer anderen Richtung ein Maximum. Damit erweist sich ein SP stets als VERALLGEMEINERTES EXTREMUM .

   Was du meinst, ist ein ===>  Terrassenpunkt ( TP )    Da es übrigens TP in beliebigen Dimensionen gibt, sind sie von SP wohl zu unterscheiden.

   2)   Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel:

   " Es gibt nur hinreichende, keine notwendigen Bedingungen.

   Eine gerade Nullstelle ist stets ein ( lokales ) Extrtemum, wobei das Vorzeichen der ersten von Null verschiedenen Ableitung über Minimum / Maximum entscheidet.

   Eine ( mehrfache ) ungerade Nullstelle ist stets ein TP. "

    3)  Jetzt hast du aber die Ableitung falsch gebildet. Mein Rat wäre ===>  logaritmisches Differenzieren, eine Unterart des ===> impliziten Differenzierens. Wie dir bekannt sein dürfte, verringert Logaritmieren die Rechenstufe um Eins.

    ln  (  y  )  =  x  ²  +  ln  (  x  ²  +  1  )      (  1a  )

                                                      2 x

    y ' / y  =  0  =  2  x     +        ----------------        (  1b  )

                                                     x ² + 1

   Das gibt erst mal x = 0 , da hast du Recht .  Und dann noch die quadratische Gleichung ohne reelle Lösungen ( x ² + 2 = 0 )

   Teoretisch hat ja eine Kurvendiskussion auch nicht mit den Ableitungen zu beginnen; als erstes solltest du die Achsensymmetrie feststellen. Zusammen mit der Asymptotik erwarten wir natürlich dieses Minimum bei Null.

   Ich selbst habe mich noch nie an höhere Ableitungen geschert. 

   f  '  (  x  )  =  x ( x ² + 1 ) exp ( ... )   =     (  2a  )

           = ( x ³ + x )  exp ( ... )     (  2b  )

   f " ( x ) = ( 3 x ² + 1 ) exp + 2 x ( x ³ + x ) exp    ( 2c )

      Gleich der zweite Term   wird positiv; also Minimum. Sehen wir das?