Wann ist Konzentration am höchsten? (Intervall)

Question

Tablette wird genommen; Wirkstoffkonzentration für t>0, t als Maßzahl 1 Stunde, f(t) als Maßzahl 1mg/l. Zeitpunkt der Einnahme t=0

f(t)=e-1/5t-e-6t

Aufgabe:

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt t₁ im Intervall [0;10], zu dem die Wirkstoffkonzentration maximal ist und berechne die maximale Wirkstoffkonzentration

Zur Kontrolle: f'(t)=1/5*(30e^-6t-e^-1/5t)

Ich weiß gar nicht wie ich hier vorgehen soll und wie kommt die Funktion f'(t) (zur Kontrolle) zu Stande?

Answer 1

Hi,

also Maximal bedeutet du musst den Hochpunkt ausrechnen.

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt t1 im Intervall [0;10], zu dem die Wirkstoffkonzentration maximal ist und berechne die maximale Wirkstoffkonzentration

Dazu erste Ableitung f'(x) = 0 setzen. Mit der zweiten Ableitung prüfst du dann, ob ein Maximum vorliegt f''(x) != 0

Die Maximale Konzentration ergibt sich aus dem einsetzen des X Wertes (den Hochpunkt hast du ja vorher bestimmt :) ) in f(x).

Schaffst du die Ableitung?

In deiner anderen Frage habe ich dir gezeigt, wie man mit der E-Funktion umgehen kann. Jetzt stehen die interessanten "Sachen" im Exponent und an die wollen wir ja :)

D.h. da müssen wir sie "irgendwie" raus bekommen

Comments

Ich habe folgendes:

f'(t)= e^-1/5t *1/5-e^-6t *-6

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Ok

Wenn du die Ableitung hast, setzt du diese gleich 0. Die t bekommst du aus dem Exponenten mit logarithmus

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Das mit dem Logarithmus habe ich leider so gar nicht verstanden..

Kann es sein das die Extremstelle bei 0,586 liegt?

Als zweite Ableitung habe ich dann

f''(t)=  -1/5*e^-1/5t *-1/5+6e^-6t *(-6)

Ist die wohl richtig so?

Und da müsste ich dann 0,586 einsetzen, falls es denn richtig ist :p

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Hi,

Ich bin leider gerade mobil unterwegs. Aber das könnte sein was du raus hast. Du kannst dir die Funktion mal zeichnen lassen, also dein fx dann kannst du das auch Graphisch prüfen :)

Was du danach noch sagst passt. also diesen Wert dann in fx einsetzen. Dann hast du die "Höhe" an der Stelle :)

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ja das passt =)

aber was ist mit diesem Zur Kontrolle: f'(t)=1/5*(30e^{-6t}-e^{-1/5t}) gemeint?

und was soll dann die maximale Wirkstoffkonzentration sein?

Sorry das ich soviel frage :(

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So hier einmal die Rechnung. frag ruhig alles gut!

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Zur Kontrolle deshalb, weil wenn du dich verrechnet hättest, du wenigstens die Ableitung mit der du weiter rechnen könntest :)

Aber ich bin kein Fan von dieser Ableitung, wie sie dort angegeben ist :)

Zur Aufgabe:

Also wir wissen, das wir bei x = 0.583 einen Hochpunkt haben!
Die Maximale Konzentration ist jetzt einfach nur der Wert an der Stelle x also, wie du richtig erkannt hast f(0.583) = 0.859

~plot~ e^{-0.2x} - e^{-6x} ~plot~

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Soweit alles klar?

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Wow bin echt mega beeindruckt von der Mühe die du dir hier mit mir gibst! =)

Echt toll, ja total nachvollziehbar; Danke =)

Jetzt werd ich langsam unverschämt, bin etwas unter Zeitdruck :D

Wenn man jetzt den Zeitpunkt bestimmt wo die Konzentration am schnellsten abnimmt dann muss ich f''(t)=0 setzen, das wäre dann 1,173

und für y kommt dann 0,79 raus

richtig?

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Richtig, es geht dann oft um Wendepunkte

f''(x) = 0

f'''(x) != 0

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Okii super.

Nun gut die Aufgabe geht leider noch weiter ;D

jetzt soll gezeigt werden, dass F(t)=1/6e^{-6t}-5e^{-1/5t} eine Stammfunktion von f ist..

Hier bin ich leider völlig ratlos

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Antwort kommt:

Also du kannst hier bequem integrieren, ich verrate dir mal einen Tipp:

$$ \int { { x }^{ n } dx=\frac { { x }^{ n+1 } }{ n+1 }  } $$

Und es wird noch besser, die Konstanten also sowas wie ax, genau das a, kannst du vor das Integral schreiben :)

$$ \int { \frac { { e }^{ 2x } }{ 555 }  } =\quad \frac { 1 }{ 555 } \int { { e }^{ 2x } } $$

Achtung: Das ist nicht dein Integral, nur ein Beispiel :=)

Die Stammfunktion deiner Funktion ist:

\( \int\left(\mathrm{e}^{-\frac{1}{5} x}-\mathrm{e}^{-6 x}\right) \mathrm{d} x=\frac{\mathrm{e}^{-6 x}}{6}-5 \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}}+C \)

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Ganz vergessen. Auf die Lösung kommst du, indem du die Exponenten substituierst :)

Beispiel:

$$ \int{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\,\mathrm{d}x $$

Substitution: u=-(1/5)x⟶dx= -5 du

\( =-5 \int \mathrm{e}^{u} \mathrm{d} u \)

e-Funktion integriert ist die E-Funktion ;)

$$ =-5\mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} $$

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hmm da komm ich leider nicht hinterher =(

kann man das einfach so in TR eingeben?

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Nee, das muss man händisch rechnen.

Aber den ersten teil hab ich dir ja schon geliefert, dir fehlt dann noch die Integration von

-e^{-6x} aber die ist sehr sehr ähnlich :)

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Also: $$ {\displaystyle\int}\mathrm{e}^{-6x}\,\mathrm{d}x $$

Substitution: u=-6x⟶dx= -1/6 du

\( =-\frac{1}{6} \int \mathrm{e}^{u} \mathrm{d} u \)

e-Funktion integriert ist die E-Funktion ;)

$$ =-\dfrac{\mathrm{e}^{-6x}}{6} $$

So alles zusammen ist dann:

\( \int\left(\mathrm{e}^{-\frac{1}{5} x}-\mathrm{e}^{-6 x}\right) \mathrm{d} x=\frac{\mathrm{e}^{-6 x}}{6}-5 \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}}+C \)

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jetzt soll gezeigt werden, dass
F(t)=1/6 * e ^{-6t}- 5 * e^{-1/5t}
eine Stammfunktion von f ist..
Hier bin ich leider völlig ratlos
Tip :
Leite die Stammfunktion einfach ab
und überprüfe ob f herauskommt.
Das erspart dir jede Menge Arbeit.

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JA geht auch :)

F(x) = 1/6 * e^{-6t} -5 * e^{(-1/5)t}

F(x) abgeleitet:

f(x) = \(\mathrm{e}^{-\frac{t}{5}}-\mathrm{e}^{-6t}\)

Soweit alles klar?

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ich habe grade ganz kleinschrittig versucht F abzuleiten; dabei kam Folgendes raus:

1/6e^-6t*6+5e^-1/5t*1/5

ist das also Falsch?

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Nee fast richtig sogar (aber hast nen minus vergessen ;))!

Weil du ja noch kürzen kannst, dann hast du das gleiche raus, wie ich!

Gut gemacht!

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1/6e^{-6t}*6 - 5e^{-1/5t}*1/5

wüsste jetzt aber nicht wie ich das kürzen sollte

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Der blöde Editor hat gerade alles kaputt gemacht, toll.

Naja also nochmal getippt :)

Also du kannst

$$ -5\cdot\frac{-1}{5} $$

Kürzen zu

$$ -5\cdot\frac{-1}{5}=1 $$

Auch das 1/6 mit 6 kürzen nicht vergessen :)

Soweit klar?

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Also die Ableitung mal sauber:

$$ F(x) = \frac{1}{6}\cdot e^{-6t} - 5e^{\frac{-1}{5}t} $$

$$ f(x) = -6\cdot \frac{1}{6}\cdot e^{-6t} + \frac{-1}{5}\cdot (-5)e^{\frac{-1}{5}t} $$

$$= \mathrm{e}^{-\frac{t}{5}}-\mathrm{e}^{-6t} $$

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Allerletzte Aufgabe: =D

der Mittelwert einer Funktion f im Intervall a;b ist durch 1/b-a _a∫^bf(t)dt gegeben

Berechne mittlere Wirkstoffkonzentration während der ersten 10 Std

Habe noch 10 min :p auch hier absolut keine ahnung

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OK

du hast dein f(x)

und deine Integralgrenzen von 0 bis 10. Dann wendest du einfach das an, was da steht.

Nämlich 1/(10-0) * Integral von 0 bis 10 f(x)

Dazu musst du dann die Stammfunktion berechnen, aber die hattest du ja schon mit F(x) gegeben...

$$ F(x) = \frac{1}{6}\cdot e^{-6t} - 5e^{\frac{-1}{5}t} $$

$$ \frac{1}{10}\cdot\left( \frac{1}{6}\cdot e^{-6t} - 5e^{\frac{-1}{5}t} \right)_0^{10} $$

Oder einfach in den Taschenrechner eingeben

= 0.415

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Die Mittlere Änderungsrate ist:

$$ \begin{aligned} m = \frac { f \left( a \right) - f \left( b \right) } {a-b} \end{aligned} $$

Da einfach nur noch die Werte einsetzen

wenn ich mich nicht verrechnet habe 0.0135

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Super hast mir echt weiter geholfen =)