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Wie kann ich das summenzeichen schriftlich mit summanden, also nur plus zeichen ausrechnen. bitte mit begründung

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hier mal ein Beispiel:

Summe $$ s_n:=\sum_{k=0}^n{a_k} $$

k ist hierbei die Laufvariable die, die alle Werte bis n durchläuft. In jedem Durchlauf wird dann das k-te Folgenglied von  der Folge ak addiert, bis man die Obergenze n erreicht hat. Man muss dabei nicht zwangsläufig bei k=0 anfangen, sondern kann das auch erst bei 1000 oder bei-45 tun. Das kommt eben auf die Situation an.

$$a_k={\begin{pmatrix} 7\\k\end{pmatrix}}\\ s_7=\sum_{k=4}^7{\begin{pmatrix} 7\\k\end{pmatrix}} =\begin{pmatrix} 7\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 7\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 7\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 7\\7\end{pmatrix}=64 $$

$$a_k=k\\ s_7=\sum_{k=1}^10{k} = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$$

von 12 k

Beim zweiten Beispiel muss es natürlich $$ s_{10}$$ heißen.

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