der Ansatz dafür ist der binomische Lehrsatz, mit der man die binomische Reihe erhalten kann.
$$ (1+b)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}\alpha\\k \end{pmatrix}b^k $$
Die Funktion f muss nun so umschrieben werden, sodass es dem Term $$ (1+b)^\alpha $$ nahe kommt. $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}=\Bigg(1+\frac{x^3}{10} \Bigg)^{-\frac{1}{3}}\\\alpha=-\frac{1}{3} \qquad b=\frac{x^3}{10} $$
Jetzt einfach einsetzen:
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}=\Bigg(1+\frac{x^3}{10} \Bigg)^{-\frac{1}{3}}=\underline{\underline{\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k}} $$
Nun die ersten drei Terme. Man geht nur bis n=2, da bei k=0 angefangen wird zu zählen.
$$ \sum_{k=0}^2\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k=1\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^0-\frac{1}{3}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^1+\frac{2}{9}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^2\\=1-\frac{1}{30}x^3+\frac{1}{450}x^6=\frac{1}{450}(x^6-15x^3+450) $$
Nun die Berechnung des bestimmten Integrals:
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}dx=\int_0^1 \Bigg(\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k\Bigg)dx\\=\int_0^1 \Bigg(\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k}\cdot x^{3k}\Bigg)dx\\=\Bigg[\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot x^{3k+1}\Bigg]_0^1\\=\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot 0^{3k+1}-\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot 1^{3k+1}\\=\underline{\underline{\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}}}$$
Hier ein Link, wer diese Summe als Ergebnis bestimmten Integrals, mal als ,,Zahl'' sehen will.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of((-1%2F3+nCr+k)((1)%2F(10%5Ek(3k%2B1)))+from+k%3D0+to+infty)
Und mit den ersten drei Termen hätte man folgendes Näherungsresultat:
$$ \int_0^1f(x)dx\approx \int_0^1 \frac{1}{450}(x^6-15x^3+450) dx=\frac{1}{450}\Bigg[\frac{1}{7}x^7-\frac{15}{4}x^4+450x\Bigg]_0^1\approx \underline{\underline{0,99198}} $$
