Potenzreihe, binomische Reihe. EDIT: f(x):= 1/(3√( 1 + x3/10))

Question

berechnen sie mit hilfe der binom. Reihe die drei ersten Terme der potenzreihe von

f(x)= ³√1+x³/10

(Entwicklungsgrad=0)

Berechnen Sie mit hilge dieser Potenzreihe näherungsweise

₀¹∫ f(x) dx.

EDIT: Gemeint war:

Comments

Tipp:  $\displaystyle(1+z)^\frac13=\sum_{k=0}^\infty\binom{\frac13}kz^k=1+\tfrac13z-\tfrac19z^2+\tfrac5{81}z^3+\cdots$.

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Ist das die lösung der aufgabe ?

Ich komme gerade nicht weiter

Ich

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Nein, das ist nicht die Lösung. Nur ein möglicher Ansatz.

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Okay ich sitze momentan auf dem roten faden

Und komme nicht weiter

Danke für den ansatz

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Was ist damit genau gemeint?

f(x)= ^{3}√1+x^{3}/10

f(x)= 1 +x³/10

oder

f(x)= ³√(1+x³)/10

oder

f(x)= ³√(1+x³/10)

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f(x)= 1÷ ³√1+ x³/10

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Sicher?

Du hast das hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1÷+%5E(3)√1%2B+x%5E(3)%2F10

eingegeben.

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Ich meine das hier sorry für die verwirrung

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Tipp2:  $\displaystyle(1+z)^{-\frac13}=\sum_{k=0}^\infty\binom{-\frac13}kz^k=1-\tfrac13z+\tfrac29z^2-\tfrac{14}{81}z^3+\cdots$.

Answer 1

der Ansatz dafür ist der binomische Lehrsatz, mit der man die binomische Reihe erhalten kann.

$$(1+b)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}\alpha\\k \end{pmatrix}b^k$$

Die Funktion f muss nun so umschrieben werden, sodass es dem Term $$(1+b)^\alpha$$ nahe kommt. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}=\Bigg(1+\frac{x^3}{10} \Bigg)^{-\frac{1}{3}}\\\alpha=-\frac{1}{3} \qquad b=\frac{x^3}{10}$$

Jetzt einfach einsetzen:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}=\Bigg(1+\frac{x^3}{10} \Bigg)^{-\frac{1}{3}}=\underline{\underline{\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k}}$$

Nun die ersten drei Terme. Man geht nur bis n=2, da bei k=0 angefangen wird zu zählen.

$$\sum_{k=0}^2\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k=1\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^0-\frac{1}{3}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^1+\frac{2}{9}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^2\\=1-\frac{1}{30}x^3+\frac{1}{450}x^6=\frac{1}{450}(x^6-15x^3+450)$$

Nun die Berechnung des bestimmten Integrals:

$$\int_0^1\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}dx=\int_0^1 \Bigg(\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k\Bigg)dx\\=\int_0^1 \Bigg(\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k}\cdot x^{3k}\Bigg)dx\\=\Bigg[\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot x^{3k+1}\Bigg]_0^1\\=\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot 0^{3k+1}-\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot 1^{3k+1}\\=\underline{\underline{\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}}}$$

Hier ein Link, wer diese Summe als Ergebnis bestimmten Integrals, mal als ,,Zahl'' sehen will.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of((-1%2F3+nCr+k)((1)%2F(1…

Und mit den ersten drei Termen hätte man folgendes Näherungsresultat:

$$\int_0^1f(x)dx\approx \int_0^1 \frac{1}{450}(x^6-15x^3+450) dx=\frac{1}{450}\Bigg[\frac{1}{7}x^7-\frac{15}{4}x^4+450x\Bigg]_0^1\approx \underline{\underline{0,99198}}$$