Definitionslücken und senkrechte Asymptoten

Question

Ich verstehe nicht den Unterschied zwischen einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel und mit Vorzeichenwechsel.

Beispiel:

Die Funktion k mit k(x)= x^2- 4 /(x-2)^2 hat bei x0=2 eine Definitionslücke. Hier hat der Zähler die Nulstelle x0=2. Durch die Umformung des Funktionsterms erhält man für x nicht 2. Nach dem Satz hat k daher bei x0=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Warum hat allerdings dann die Funktion x^2-4/ x-2 eine Definitionslücke und die obere Funktion nicht?

für eure Hilfe:)

Comments

Wie heißt die Funktion ?

k ( x ) = x^2- 4 / ( x-2 )^2
k ( x ) = ( x^2- 4 ) / ( x-2 )^2
k ( x ) = x^2- ( 4 / x ) -  2 ^2
k ( x ) = x^2- ( 4 / x ) -  2 

Du solltest  einmal versuchen Klammerungen
richtig ( eindeutig ) zu setzen.

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Bei deinen Funktionen fehlen Klammern, sonst ist dein Text

Die Funktion k mit k(x)= x^{2}- 4 /(x-2)^{2} hat bei x0=2 eine Definitionslücke. Hier hat der Zähler die Nulstelle x0=2. Durch die Umformung des Funktionsterms erhält man für x nicht 2. Nach dem Satz hat k daher bei x0=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Warum hat allerdings dann die Funktion x2-4/ x-2 eine Definitionslücke und die obere Funktion nicht?

an den farbigen Stellen falsch.

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Hier ist die Erklärung aus meinem Mathebuch. Ich verstehe nicht, warum bei dem zweiten Fall eine Polstelle sein muss, da doch eigentlich wie beim ersten Fall der Zähler 0 ergibt, da es doch keinen Unterschied zwischen dem Zähler im ersten und im zweiten Fall gibt oder? Und was ist damit gemeint, dass es eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel sei?

Answer 1

falls ich es richtig gesehen habe

k(x) = (x²-4) /(x-2) ²   < umformen mit der 3.Bin.Form.

       = (x-2) (x+2)  /(x-2) ²

       =( x+2 )  /(x-2)                nicht def. bei  x= 2   da wird der Nenner 0

das zweite Beispiel:

hätte nach dem Umfomen   da stehen k(x) = x+2  und ist dann eine lineare Funktion

Answer 2

Du hast 2 Funktionen
1.)
( x^2 - 4 ) / ( x-2 )
D = ℝ \ 2 ( Division durch 0 ausschließen )
[ ( x + 2 ) * ( x -2 ) ] / ( x - 2 )
Nun lasse ich x gegen 2 gehen. Der Nenner ist noch
nicht null. Es kann noch gekürzt werden.
lim x −> 2  [ ( x + 2 ) * ( x -2 ) ] / ( x - 2 ) = x + 2
lim x −> 2  = x + 2 = 4

2.)
( x^2 - 4 ) / ( x-2 )^2
D = ℝ \ 2 ( Division durch 0 ausschließen )
[ ( x + 2 ) * ( x -2 ) ] / [ ( x - 2 ) * ( x -2 ) ]
Nun lasse ich x gegen 2 gehen. Der Nenner ist noch
nicht null. Es kann noch gekürzt werden.
lim x −> 2  [ ( x + 2 ) * ( x -2 ) ] / [ ( x - 2 ) * ( x - 2 ) ]
lim x −> 2  [ ( x + 2 )  /  ( x - 2 ) ] = 4 / 0
geht gegen unendlich
4 / 0.1 = 40
4 / 0.01 = 400
4 / 0.001 = 4000
usw
x = 2 ist eine sogenannte Polstelle

Soviel zunächst.

Comments

Muss ich jede gebrochenrationale Funktion immer umformen, damit ich die Definitionslücken bzw. Polstellen herausfinden kann?

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D = ℝ \ 2

Das ist sinnlos.

Der Nenner ist noch
nicht null.

Der Nenner ist für kein Element der Definitionsmenge gleich Null.

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@Tangente
Nein. Es gibt mehrere Nachweismethoden.
Falls dir bekannt
lim x −> 2 : ( x^2 - 4 ) / ( x-2 )  = 0 / 0
Ein Fall für ´Hospital
( x^2 - 4 ) ´ / ( x-2 ) ´ = 2x / 1
lim x −> 2 : 2x / 1 = 4

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lim x −> 2  [ ( x + 2 )  /  ( x - 2 ) ] = 4 / 0
geht gegen unendlich
4 / 0.1 = 40
4 / 0.01 = 400
4 / 0.001 = 4000
usw

Das ist nur die halbe Wahrheit.