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Gegeben ist lim x→∞ (2x-3)/(x-1)

Wenn ich nun immer größere Werte eingebe z. B. 10, 100, 1000

Bleibt der wert doch immer gleich oder irre ich mich?

Wie gebe ich einen immer gleichbleibenden Wert an.

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Forme etwas um: (mit x kürzen)

(2x-3)/(x-1)  =  ( 2 - 3/x) / ( 1 - 1/x)

Dann siehst du  3/x  und 1/x sind für große Werte von x

nahe 0, also ist der Bruch immer ungefähr vom Wert 2.

von 228 k 🚀
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Nein er bleibt nicht gleich, nur weil der Wert auf dem Taschenrechner vielleicht was anderes sagt. Das liegt daran, dass der Rechner auch nur begrenzt mit Kommastellen rechnet und nicht alle anzeigt. Also der Wert ändert sich hier für verschiedene Werte von x. Je größer deine eingesetzten Werte sind, desto deutlicher wird dann, bei welchem Wert sich deine Funktion ,,einpendeln" wird, der sogenannte Grenzwert. Um diesen zu bestimmen, gibt es verschiedene Wege. Einen hast du schon gemacht, indem du Tesgeinsetzungen gemacht hast. Das reicht aber nicht, da das eigentlich nur ,,Vermutungswerte" sind, wo man nur sagen könnte, dass es in diese Richtung gehen könnte. Muss es aber nicht. Deshalb sollte man bei dem Bestimmen des Grenzwertes anders rangehen. Zum Beispiel so:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x-3}{x-1}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2x}{x}-\frac{3}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}} =\lim_{x\to \infty}\frac{2-\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{2-0}{1-0}=\underline{\underline{2}}$$

Man teilt einfach durch den höchstvorkommenden Grad der Potenz, hier 1. Also teilt man alle Glieder durch x. So wird schnell ersichtlich, was ,,zur Null wird".

von 12 k

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