Grenzwert bestimmen mit l'Hospital: lim x→∞ (x*sin(3/x))

Question

von

lim x→∞ (x*sin(3/x))

soll mit l'hospital der Grenzwert bestimmt werden.

Ich habe die Funktion so umgeformt

= (sin(3/x))/(1/x)

komme aber leider nicht weiter, da der Nenner ja egal wie oft man Ableitet immer 0 sein wird, oder?

Answer 1

Hallo

Leite der Zähler und Nenner jeweils 1 Mal an:

Ableitung Zähler:( -3 cos(3/x))/(x^2)

Ableitung Nenner: -1/x^2

Eingesetzt ergibt den Grenzwert 3.

Du mußt natürlich davor immer  schreiben :

lim( x->∞)

Comments

erstmal vielen Dank! Die Ableitungen habe ich auch.. unser Prof. sagt wir sollen für x dann immer 10^10 in den Taschenrechner eingeben, und da kommen bei mir nur krumme sehr kleine Zahlen raus.

Kannst du mir bitte sagen wie du das abschließend ausrechnest?

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Du brauchst kein Taschenrechner , das x^2 kürzt sich .

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aah super! Vielen

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erstmal vielen Dank! Die Ableitungen habe ich auch.. unser Prof. sagt wir sollen für x dann immer 10¹⁰ in den Taschenrechner eingeben, und da kommen bei mir nur krumme sehr kleine Zahlen raus.

Hast du vielleicht den TR nicht in das Bogenmaß gestellt ? 

Bei mir gibt der Taschenrechner 3 an. Aber da brauch ich nicht mal L'Hospital anwenden. Das mit dem TR ist also eher zur Kontrolle gedacht und nicht dazu geeignet den Grenzwert zu berechnen.

Answer 2

lim_x→∞ \(\frac{sin(3/x)}{1/x}\) 

lim_x→∞ \(\frac{[sin(3/x)]'}{[1/x]'}\) 

 = lim_{x→∞  [} \(\frac{-3·cos(3/x)}{x^2}\) / (-1/x²) ]  

=  lim_{x→∞  [} \(\frac{3·cos(3/x)}{1} \)]     , weli für x→ ∞ gilt:    3/x → 0 und   damit  cos(3/x) → 1

= 3

Gruß Wolfgang

Answer 3

Ein Trick - er stammt nicht von mir.  Deshalb muss ich ===> Ly cos zitieren, weil ich weder Gutenberg noch Bösental bin. Dort ging es sogar um ziemlich komplizierte Wurzelfunktionen.
   Also als Erstes tust du mal setzen


   
     x  :=  1 / z    ;  z  ====>  0     (  1  )



     Dann hast du also



    f  (  z  )  =  ( 1/ z )  sin  (  3  z  )       (  2  )

(  2  )  ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient der Funktion

g  (  x  )  :=  sin  (  3  z  )       (  3a  )

genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z . Und zwar schlicht und ergreifend deshalb, weil

g  (  0  )  =  0      (  3b  )

Dieser Grenzwert ist aber g ' ( 0 )

g  '  (  z  )  =  3  cos  (  3  z  )  ===>  3     (  4  )

Hier kennste den? Bei einer analogen Aufgabe bekam ich mal den Kommentar

" ' Für Was ' lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn ich doch die Aufgabe lösen kann, indem ich den transformiere? "