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Hallo alle zusammen, ich möchte die Treppennormalform folgender Matrix berechnen habe aber Probleme dabei A = $$\begin{pmatrix}  1 & i & -i  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & -6i & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{4,4}$$.

Leider verstehe ich die Erklärung im Buch nicht ganz, weil das eine eine Methode verwendet wurde über die ich Internet nichts gefunden habe. Im Internet wird ja davon ausgegangen, dass man ein lineares Gleichungssystem gegeben hat wovon man die Treppennormalform ausrechnen will. Hier habe ich aber schon direkt eine Matrix gegeben und mir fehlt diese zusätzliche Spalte die in den ganzen Videos gegeben ist: 

Hier ein Beispiel wo ich es um Welten einfacher fand die Treppennormalform zu berechnen:

Gegeben sei die Matrix $$\begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \in (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{2,2} \Rightarrow \begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}_{-3 \cdot Zeile 1} \Rightarrow \begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}_{\div 2} \Rightarrow \begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^{+2 \cdot Zeile 2} \Rightarrow \begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}_{\cdot (-1)}$$. $$\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$


Ist das richtig? Ich hoffe jemand kann mir beim obigen Beispiel helfen, da ich echt nicht alleine auf den richtigen Lösungsansatz komme und ich schon eine halbe Ewigkeit versucht habe die Aufgabe selber zu lösen.

MfG EC.

von

Die Spalte rechts ist egal. Es läuft genauso ab, wie bei einer Matrix mit dieser Spalte. Die Spalte rechts macht die Matrix nur zu einer ,erweiterten Koeffizientenmatrix". Mehr passiert nicht.

Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben für die Matrix oben? Ich komm einfach nicht drauf. Irgendein Tipp oder Hinweis der mich auf die richtige Fährte bringt wäre nice.

Du musst die Matrix oben nicht haargenau so umformen, um auf die Treppenform zu kommen, da gibt es verschiedene Wege. Wichtig ist ebenhalt, dass du die Zeilen so geschickt umformst, dass du eben auf diese Treppenform am Ende kommst. Bei so einer kleinen Marrix gibt es widerum wenig Spielraum, es auf bestimmte Arten zu tun, als wenn du eine 8x8 Matrix auf die Treppenform bringen wolltest.

Hier ein BeispielIMG_20180616_180725.png

Was mich an meinem Beispiel verwirrt ist das schon 2 Zeilen 0 sind. Also theoretisch muss ich diese Zeilen dann unbeachtet lassen oder? MfG und Danke für das Beispiel das hat mir schon mal etwas weitergeholfen.

Siehe nächste Antwort.

1 Antwort

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Ja, genau. Bei deinem Beispiel hast sogar nicht ganz so viel zu machen, weil schon eben viele Nullen da sind. Du kannst dir das auch erstmal etwas übersichtlicher gestalten, indem du die Zeilen passend vertauschst. Das kannst du machen, weil das keinerlei Auswirkung auf die Aussage der Matrix haben wird.

$$ \begin{pmatrix}  1 & i & -i  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & -6i & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \Leftrightarrow\\ \begin{pmatrix}  1 & i & -i  & 0 \\ 5 & 0 & -6i & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

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