Geben Sie das charakteristische Polynom der Matrix an

Question

Eine 2×2-Matrix hat die Eigenwerte -5, 2.
Geben Sie das charakteristische Polynom χ(x) dieser Matrix an:

Answer 1

die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, welches aus der Determinante von A-t*E herrührt.

Beispielsweise hat man folgende 2x2-Matrix

$$A=\begin{pmatrix}-10 & 4\\ -24 & 10 \end{pmatrix}$$ Dann lässt sich das charakteristischen Polynom danach berechnen:

$$\det(A-t\cdot E)=\det\begin{pmatrix}-10-t & 4\\ -24 & 10-t \end{pmatrix}=(-10-t)\cdot(10-t)-4\cdot(-24)\\[25pt]=-100-10t+10t+t^2+96=t^2-4=\underline{(t+2)\cdot(t-2)}=:P_A(t)$$

Aus der Linearfaktorzerlung des charakteristischen Polynoms kann man dann sehr gut die Eigenwerte ablesen. Sie lauten:
$$\lambda_1=-2\qquad\lambda_2=+2$$

Wenn man nun die Eigenwerte gegeben hat, lässt sich also ganz einfach das charakteristische Polynom aufstellen, was schnell gehen sollte. Bei Unklarheiten melden.