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Heyyy, wäre super toll, wenn ihr mir hier kurz helfen könnte. Vielen vielen Dank schon mal:)

Wir betrachten die Wurzelfunktion f(x) := √x und ihre Taylorentwicklung um x0 := 1.

a) Formulieren und beweisen Sie eine Vermutung fur die n-te Ableitung fn(x) und das n-te Taylorpolynom
Tn(x).
b) Finden Sie n so, dass |f(x) − Tn(x)| < 0.01 auf [0.5, 2].

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Hallo,

zu a musst du erstmal die n-te Ableitung finden. Das tust du, indem du erstmal paarmal ableitest und auf Regelmäßigkeiten untersuchst, um damit die n-te Ableitungsformel zu basteln. Diese musst du dann per Induktion beweisen. Nun musst du für x=1 die n-te Ableitung ausrechnen. Dafür setzt du in die n-te Ableitungsformel für x die 1 ein.

Damit kannst du dann bequem das n-te Taylorpolynom Tn(x) aufstellen.

$$ T_{nf(x;1)}=\sum_{k=0}^n{\frac{f^{k}(1)}{k!}\cdot (x-1)^{n}} $$

Zu b nimmst du eine Restgliedabschätzung vor, aber diesmal umgekehrt, denn du hast schon einen maximalen Fehler, 0,01 vorgegeben. Der Ansatz wäre also:

$$ |R_n(x)|= \Bigg|\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}\cdot (x-1)^{n+1} \Bigg|<0,01$$

Und mit dieser Ungleichung ermittelst du n. Geht meistens nur durch Probeeinsetzen, da solche Gleichungen meist nicht analytisch lösbar sind!

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