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ich habe folgende Aufgabe:

Ein Kanal hat einen parabelförmigen Querschnitt. Wie viel Prozent der ursprünglichen Wassermenge
führt der Kanal noch, wenn die Wasserhöhe auf 50% absinkt.


Der Kanal ist ja eine Normalparabel somit habe ich mir ein Koordinatensystem gezeichnet und dort eine Normalparabel eingezeichnet. Und ein Parallele zur x-Achse gezeichnet. Die Höhe ist h.

Ich habe nur die Umkehrfunktion bestimmt, da ich ja das Integral benötige.

f^{-1}(y) = sqrt(y)


Habe nun das Integral berechnet: 2 mal Integral von 0 bis h mit sqrt(y). Als Ergebnis habe ich 4/3 *y^{3/2}.

Man kann es noch berechnen, also (4/3 *h^{3/2}) - (4/3 *0^{3/2}) = 4/3 *h^{3/2}


Aber wie gehe ich nun weiter voran? Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte um auf die richtige Lösungen zu kommen.

von

3 Antworten

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Beste Antwort

Skizziere eine Parabel unterhalb der x-Achse
mit der Funktion
f ( x ) = x^2 - c  ( c ist der y-Achsenabschnitt )
dann schiebst du diese Parabel nach oben bis
g ( x ) = x^2 - c/2 ( c/2 ist der neue y-Achsenabschnitt )

Nullstellen von f
x^2 - c = 0
x = √ c
Stammfunktion
x^3 / 3 - cx
Der Einfachheit halber wird nur die Hälfte
der Querschnittsfläche berechnet
x^3 / 3 - cx zwischen 0 und +√ c
( √ c ) ^3 / 3 - c * √ c
( c * √ c ) / 3 - c * √ c
A1 = -2/3 * c * √ c

Nullstellen von g
x^2 - c/2 = 0
x = ±√ (c/2)
Stammfunktion
x^3 / 3 - (c/2) * x
Hälfte der Fläche  von 0 bis  +√ (c/2)
A2 = -2/3 * c/2 * √ ( c/2)

A2 / A1 =
[ -2/3 * c/2 * √ ( c/2) ] / [ -2/3 * c * √ c ]
[ c/2 * √ ( c/2) ] / [ c * √ c ]
[ √ ( c/2)^3 ] / [ √ c^3 ]
√ [ ( c/2)^3 / c^3 ]
√ ( 1 / 8 )
0.354


1 Beispiel einmal berechnet. Stimmt.

von 111 k 🚀
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y=h

Schnittpunkte

h=x^2

x_(1,2)=±√h

Differenzfunktion

y=h-x^2

Integration der differenzfunktion zwischen den beiden Schnittpunkten

∫_(-√h) ^{√h} h-x^2 dx=[hx-x^3/3]_(-√h)^{√h}=(h√h-h^{3/2}/3)-(-h√h+h^{3/2}/3)

=2h√h-2h^{3/2}/3=4/3h^{3/2}

Jetzt diese Integration noch mit der differenzfunktion h/2-x^2 durchführen und die beiden ergebnisse ins Verhältnis setzen.

von 24 k
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Eine Umkehrfunktion ist nicht erforderlich.Die Wassermenge hängt allein vom Querschnitt ab. Da ein Prozentzahl gesucht ist, kanns du sogar mit der halben Querschnittsfläche rechnen. Die halbe (Höhe h) Querschnittsfläche ist A1= 0√h(h-x2)dx und bei halbem Wasserstand A2= 0∫√(h/2)((h/2)-x2)dx . Jetzt A2/A1 in eine Prozentzahl umrechnen.

von 103 k 🚀

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