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Aufgabe:

Gegeben sind ein Kreis mit Gleichung (x-2)^2+y^2 = 4 und die Parabel y=x^2

Allgemein soll ich den Flächeninhalt zwischen den Kreis und der Parabel berechnen.

Ich habe einen Schnittpunkt erhalten mit x1=0 und einen weiteren habe ich durch das Newtonverfahren bestimmt x2=1,3788

Nun wollte ich den Flächeninhalt bestimmen, aber wie integriere ich den Kreis?

Habe den Kreis umgeschrieben zu: (x-2)^2+y^2 = 4 zu g(x) = sqrt(4-(x-2)^2)


Wie bestimmte ich nun die Stammfunktion von: g(x) = sqrt(4-(x-2)^2)?

Gibt es irgendwelche Tipps/ Tricks?

von

4 Antworten

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Beste Antwort

Hi,

$$ {\displaystyle\int}\sqrt{4-\left(x-2\right)^2}\,\mathrm{d}x $$

Substitution

$$ u=x-2 $$

$$ ={\displaystyle\int}\sqrt{4-u^2}\,\mathrm{d}u $$

Jetzt kommt der ekelhafte teil:

Substituiere das zweite mal:

$$ u=2\sin\left(v\right) $$

$$ ={\displaystyle\int}2\cos\left(v\right)\sqrt{4-4\sin^2\left(v\right)}\,\mathrm{d}v $$

Das kann man etwas vereinfachen, zu 4*cos(x)^2


Weiter gehts:

$$ =4{\displaystyle\int}\cos^2\left(v\right)\,\mathrm{d}v $$

Das Integral ist schon etwas angenehmer...

Für Integrale dieses Typs gibt es eine spezielle Reduktionsformel!!!

$$ =\frac{\cos\left(v\right)\sin\left(v\right)}{2}+{\frac{1}{2}} \int 1\,\mathrm{d}v $$


Jetzt muss man wirklich aufpassen, dass man keinen Fehler macht!!! Die Rücksubstitution kommt:

$$ {\displaystyle\int}\sqrt{4-\left(x-2\right)^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{\left(x-2\right)\sqrt{4x-x^2}-4\arcsin\left(\frac{4-2x}{4}\right)}{2}+C $$


Wie heißt das Buch, dass du nutzt? Das sind richtig nette Aufgaben :) Aber auch etwas fies

von 2,9 k

Dankeschön, für die super Antwort.

Ist leider kein Buch, sondern nur einzelne Aufgaben als .pdf - Dokument, bei Bedarf kann ich gerne welche zukommen lassen.

Schönen Sonntag noch und nochmal vielen Dank für die Hilfe!

+1 Daumen

Die Stammfunktion sieht schrecklich aus

blob.png

von 111 k 🚀

Fiel mir gerade ein.
Das muß sich auch über das Kreissegment
einfacher berechnen lassen.

Von 0 bis 1.3788
oder
( 4 - 1.3788 ) bis 4

gm-132.JPG

Ich habe mir das mit der Flächenberechnung
noch einmal durchdacht.

Zu bestimmende Fläche ( grün ). Ohne Integralrechnung.

gm-132a.jpg
cos ( alpha ) = x / r
alpha = ...

Fläche Vollkreis = r^2 * pi
Tortenstück mit Winkel alpha

A = r^2 * pi * alpha / 360

Dreieck von 0 bis x
D = x * f ( x ) / 2

grüne Fläche
A minus D

0 Daumen
Nun wollte ich den Flächeninhalt bestimmen, aber wie integriere ich den Kreis?

Substituiere x - 2 = √4 · sin(t)

von 76 k 🚀
0 Daumen

Wie bestimmte ich nun die Stammfunktion von: g(x) = sqrt(4-(x-2)^2)

Substituiere:

a) z=x-2

b) z=2 sin(v)

dann kommst Du auf

=4∫ cos^2(v) dv

Hier gibt es mehrere Möglichkeiten zu integrieren.

von 111 k 🚀

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