Bestimme alle komplexen Lösungen der Gleichung z^4 - 2z^2 + 4 = 0

Question

z^4 - 2z^2 + 4 = 0

Ich muss dies ja zuerst substituieren, also auf:

z^4 = x^2

z^2 = x

damit ergibt sich dann x^2 - 2x + 4 = 0

Wie muss ich jetzt weiter agieren?

Es ist ja kein i enthalten.

Ich stehe auf dem Schlauch und es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! :)

Comments

Da es mit der Mitternachtsformel nicht geht, da in der Wurzel ein minus steht, kann ich dann davon ausgehen das -1 = i^2 ist?

dadurch könnte ich schreiben:

Z1/2 = 2± √12i^2 ÷ 2

dann könnte ich das i herausziehen, also:

Z1/2 = 2± i √12 ÷ 2

ist der Ansatz korrekt?

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Kleiner Fehler. Es müsste so heißen:

$$ z_{1,2}=1\pm\sqrt{1^2-4}=1\pm \sqrt{-3}=1\pm\sqrt{3}\cdot i $$

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Können Sie mir helfen, ich verstehe nicht ganz wie Sie auf das Ergebnis kommen

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Ich habe die pq-Formel verwendet.

p=-2

q=4

Und jetzt einfach einsetzen.

$$ z_{1,2}=-\frac{-2}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{2}{2} \Big)^2-4}=1\pm\sqrt{1^2-4}=1\pm \sqrt{-3}=1\pm\sqrt{3}\cdot i $$ Jetzt klar?

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Kein Problem:) Und wie schon erwähnt wurde. Rücksubstituieren nicht vergessen.

Answer 1

Wie muss ich jetzt weiter agieren?

Es ist ja kein i enthalten.

Das spielt keine Rolle. Auch die Zahlen 1, 2, √(5) ... sind komplexe Zahlen.

Es gilt: ℝ ⊂ ℂ.

[spoiler]

x^{2} - 2x + 4 = 0

x^{2} - 2x + 1 + 3 = 0

(x-1)^2 - (-3) = 0

(x-1)^2 - (√(3) i) ^2  = 0                | 3. binomische Formel

((x-1) + √(3) i) * ((x-1) - √(3) i) = 0

x_(1) = 1 - √(3) i,

x_(2) = 1 + √(3) i

[/spoiler]

Rücksubstitution nicht vergessen.

Answer 2

Hallo

einfach pq- formel oder quadratischer Ergänzung. aber mein x hat andere Werte?, und ja statt √-1=i

 aus den beiden x musst du dann nochmal die Wurzel ziehen, dazu x in die Form r*e^iφ bringen.

du hast insgesamt 4 Lösungen für z

Gruß lul

Comments

Moin, kannst du das eventuell näher erläutern? bzw. ausschreiben?

MFG

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Die Aufgabe ist uralt. was genau kannst du nicht?

x1 ud x2 noch klar? weisst du wie man Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht?

lul

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Erstmal danke, dass du trotzdem so schnell auf so eine alte Frage geantwortet hast ^^

Und ja wie man Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht weiß ich (bedingt also nicht aus Polynomfunktionen) nur weiß ich nicht wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll Ich die PQ Formel auf: x2 - 2x + 4 = 0 anwenden oder habe ich deine Antwort komplett missverstanden.

Jardani

(sorry falls ich offensichtliche Sachen frage Mathe ist wie man merkt nicht meine Stärke )