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Aufgabe:z^8 − 2z^4 + 2 = 0


Problem/Ansatz:ich bin schon soweit, dass ich die p-q-Formel angewandt habe und auf x1 = 1 + i und x2 = 1 - i gekommen bin.

Nun ist mein Problem, dass ich bei der Resubstitution auf z1 = (1+i)^4 und (1-i)^4 komme und nicht weiss, wie ich weiter verfahren soll

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5 Antworten

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Wenn die mittels

        x = z4

substituierst, dann musst du für die Rücksubstitution auch in genau diese Gleichung einsetzen. Weil du

        x = 1+i

als eine Lösung bekomemn hast, bekommt du durch die Rücksubstitution die Gleichung

        1 + i = z4.

Diese Gleichung musst du nun nach z lösen.

Dazu: komplexe Zahlen werden multipliziert indem die Argumente multipliziert und die Beträge addiert werden.

Argument von 1+i ist π/4. Argument von z ist also π/4 : 4 = π/16.

Betrag von 1 + i ist √2 = 2½. Betrag von z ist also (2½)¼ = 8√2.

Eine Lösung der Gleichung lautet also 8√2·(cos(π/16) + i·sin(π/16)).

Avatar von 105 k 🚀

könnten sie bitte genauer erklären, warum die Argumente von 1+i und z, pi/2 und pi/8 sind ?

Es sind nicht π/2 und π/8. sondern π/4 und π/16.

Die π/4 sind ersichtlich wenn man die Zahl in der Gausschen Zahlenebene zeichnet.

Die π/16 kommen daher, dass das Argument von

        Argument(z·z·z·z) = π/4

ist und

        π/16+π/16+π/16+π/16 = π/4

ist.

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z^8 - 2·z^4 + 2 = 0

u = z^4

u^2 - 2·u + 2 = 0 --> u = 1 - i ∨ u = 1 + i

Daraus jetzt noch die 4. Wurzel ziehen.

z^4 = 1 - i = √2·e^(315°·i)

z1 = 2^(1/8)·e^(78.75°·i)

...

Bekommst du die weiteren Lösungen alleine hin?

Avatar von 477 k 🚀
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Aufgabe:z8 − 2z4 + 2 = 0. Die Resubstitution heißt z4=x und führt zu z14 =1+i und z24=1-i. Setze setze z =a+b·i, potenziere  und vergleiche.

Avatar von 123 k 🚀
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Hallo um die vierte Wurzel zu ziehen musst du x=r*eit+k*2π*i schreiben oder die entsprechende Formel mit cos und sin. Dann einfach die Wurzel mit Potenzgesetz oder Winkel vierteln.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

könnten sie das vielleicht genauer erklären und mir ebenfalls sagen, wieso ich so verfahren muss ?

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Versuche es mal von hinten:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E8+−+2z%5E4+%2B+2+%3D+0

Die Lösungen liegen auf zwei gegeneinander verdrehten Quadraten:

Skärmavbild 2018-11-24 kl. 13.32.22.png

D.h. Polarkoordinaten sind nützlich.

Zur Umformung:

Skärmavbild 2018-11-24 kl. 13.32.51.png

Die "quadratische Ergänzung" führt zur zweiten Zeile bei den "alternate forms".

Faktorisieren  (3. binomische Formel)

(z^4 - 1)^2 - i^2 = 0

((z^4 - 1) + i)((z^4 -1) -i) = 0

(z^4 - (1-i))(z^4 -(1+i)) = 0

D.h. z^4 = 1-i          (I)

oder z^4 = 1+i         (II)

Bei beiden Gleichungen kannst du mit Hilfe von Polarkoordinaten jeweils 4 Lösungen (ein Quadrat im ersten Bild) berechnen.

Avatar von 162 k 🚀

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