Sei X standardnormalverteilt. Verteilungs- und Dichtefunktion von y=ex berechnen?

Question

Sei X standardnormalverteilt. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von Y = e^X .

Answer 1

Sei X normalverteilt, $F_X$ die Verteilungsfunktion und $f_X$ die Dichte von X.

Dann erhalten wir doch für $y > 0$:

$$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(e^X \le y) = P(X \le \ln(y)) = F_X(\ln(y))$$

und da Y positiv ist folgt für $y \le 0$ eben $F_Y(y) = 0$. Insgesamt

$$F_Y(y) = \begin{cases} 0 & y \le 0\\F_X(\ln(y))& y > 0 \end{cases}$$

Die Dichte bestimmt man jetzt durch ableiten, im Punkt 0 geht das nicht, aber da das eine Nullmenge ist kannst du ihr dort einfach einen beliebige Wert geben, etwa
$$f_Y(y) = \begin{cases} 0 & y \le 0\\\frac{f_X(\ln(y))}{y}& y > 0 \end{cases}$$